Markov-Modelle in der Gesundheitsökonomie: Übergangswahrscheinlichkeiten

Veröffentlicht am 20. Juni 2026 | Letzte Aktualisierung: 31. Oktober 2026

Wie Markov-Modelle in der Gesundheitsökonomie funktionieren

Ein Markov-Modell geht davon aus, dass sich ein Patient stets in einem von endlich vielen diskreten Gesundheitszuständen befindet und jedes Ereignis als Übergang von einem Zustand in einen anderen interpretiert. Sonnenberg und Beck beschreiben diese Modelle als nützlich, wenn das Risiko kontinuierlich über die Zeit ist, der Zeitpunkt von Ereignissen relevant ist und wichtige Ereignisse mehrfach auftreten können. Sie lassen sich mittels Matrixalgebra, als Kohortensimulation oder als Monte-Carlo-Simulation auswerten.^¹ Der Bericht der ISPOR-SMDM-Taskforce zur Zustandsübergangsmodellierung behandelt sowohl die Markov-Kohortensimulation als auch die individuenbasierte Mikrosimulation.^² Diese Seite befasst sich mit der Kohortenversion. Ein Kohortenmodell benötigt die folgenden Komponenten.

1. 1Zustände. Eine endliche Menge diskreter Gesundheitszustände, wobei sich jeder Patient jeweils in einem Zustand befindet.¹ Das Fallmodell umfasst vier Phasen: Krebs, Remission, Rückfall und Tod.
2. 2Zykluslänge und -horizont. Der Zeitschritt und die Anzahl der Schritte. Das Fallmodell durchläuft 10 Jahreszyklen.
3. 3Startverteilung. Wo die Kohorte beginnt. Im Fallmodell beginnt die gesamte Kohorte mit Krebs.
4. 4Übergangsmatrix. Die Wahrscheinlichkeit, in einem Zyklus von jedem Zustand in jeden anderen zu gelangen.
5. 5Belohnt. Die Kosten und der Nutzen, die jedem Zustand pro Zyklus zugeordnet sind.
6. 6Korrektur und Abzinsung. Die innerhalb des Zyklus ermittelten Gewichtungen und die vor den Zyklen angewendeten Diskontierungsfaktoren werden summiert.

Die Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix

Die Matrix enthält eine Zeile pro Bundesstaat, den die Kohorte verlässt, und eine Spalte pro Bundesstaat, in den sie eintreten kann. Im Fallbericht werden die beiden Regeln erläutert: Jeder Eintrag liegt zwischen 0 und 1, und die Summe jeder Wahrscheinlichkeitszeile muss 1 ergeben. Der ^{Eintrag „ Tod“ hat eine 1 auf der Diagonalen ,} da niemand diesen Bundesstaat verlässt. Nachfolgend ist die Standardbehandlungsmatrix aus Tabelle 1 des Berichts dargestellt, mit der letzten Zeile der jahresspezifischen Wahrscheinlichkeiten für Remission bis Tod.

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Die Zeile für die Remission verdeutlicht, warum die Matrix aus den anderen Einträgen gebildet wird. Die Wahrscheinlichkeit für den Verbleib in Remission ist auf 0.50 festgelegt, das Verhältnis von Remission zu Tod ändert sich jährlich, und das Verhältnis von Remission zu Rückfall entspricht dem Restwert, 1 − 0.50 − p(R→D). Im ersten Jahr beträgt dieser Wert 0.45 und im siebten Jahr, wenn das Sterberisiko mit 0.14 seinen Höchstwert erreicht, 0.36 (berechnet mit Editverse). Da sich die Sterbewahrscheinlichkeit zyklusweise ändert, benötigt das Modell in jedem Zyklus eine andere Matrix. Die Autoren bezeichnen dies als Simulationszeitabhängigkeit; ein zugehöriges Tutorial erklärt die Implementierung. ^{^5,6} Die Arbeit präsentiert zwei Versionen des Modells. In der ersten Version ist der jahresspezifische Vektor durch den Modellzyklus indiziert. In der zweiten Version wird die Remission in Tunnelzustände unterteilt, sodass die Wahrscheinlichkeit von den bereits in Remission verbrachten Jahren abhängt; diese Zustände werden mit R₁ bis R₁₀ bezeichnet. Die unten aufgeführten Kosten und der ICER stammen aus der Tunnelversion, da diese derjenigen entspricht, auf der die gedruckte Tabelle 3 ^basiert.⁵

Umrechnung von Raten in Übergangswahrscheinlichkeiten

Ergebnisse aus Studien und Registern werden häufig als Raten, z. B. Ereignisse pro Personenjahr, angegeben. Die Matrix benötigt jedoch eine Wahrscheinlichkeit für einen Zyklus. Die Fallstudie gibt die Umrechnung als p = 1 − exp(−rt) an, wobei p die Übergangswahrscheinlichkeit, r die Ereignisrate und t der Zeitraum ist.^⁵ Das einführende Tutorial von Alarid-Escudero et al. wendet dieselbe Transformation im Code auf konstante Jahresraten an, skaliert mit der Zykluslänge.^⁷

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Die Kurzformel ist bei kleinen rt-Werten annähernd richtig, ansonsten jedoch falsch. Bei rt = 1 ergibt sie eine Wahrscheinlichkeit von 1, also ein sicheres Ereignis, während die Exponentialfunktion 0.632 liefert. Ein weiterer häufiger Fehler ist die Änderung der Zykluslänge: Eine jährliche Wahrscheinlichkeit von 0.1393, umgerechnet in eine monatliche Wahrscheinlichkeit mit 1 − (1 − p) ^1/12 , ergibt 0.01242 – dasselbe wie die direkte Umrechnung des zugrunde liegenden Zinssatzes. Diese Äquivalenz gilt jedoch nur, wenn der Zinssatz innerhalb des Jahres konstant ist.

Durchführung der Kohortenverfolgung

^{Die Kohortenverfolgung gibt den Anteil der Kohorte in jedem Zustand am Ende jedes Zyklus an. Sie beginnt als Zeilenvektor mit allen Personen im Krebsstadium und wird mit der Matrix des jeweiligen} Zyklus multipliziert, um die nächste Zeile zu erhalten. Wir haben die Verfolgung der Fallstudie für beide Strategien anhand der gedruckten Eingabedaten rekonstruiert, wobei wir die Tunnelzustandsversion mit den zehn addierten Remissionszuständen verwendet haben.⁵

Berechnet von Editverse in R

• Die Summe der Spuren ergibt in jedem Zyklus für beide Strategien 1 (geprüft), sodass kein Teil der Kohorte verloren geht oder neu entsteht.
• Die Remissionsrate (R1 bis R10 kombiniert) erreicht im ersten Jahr unter Standardtherapie einen Höchstwert von 40.0 % und unter innovativer Therapie einen Höchstwert von 50.0 %.
• Die Rückfallrate erreicht im vierten Jahr bei der Standardbehandlung einen Höchstwert von 32.7 % und bei der innovativen Therapie einen Höchstwert von 38.5 %.
• Nach zehn Jahren sind 90.9 % der Patienten in der Standardbehandlungsgruppe und 90.4 % der Patienten in der Gruppe mit innovativer Therapie verstorben.

Kosten, QALYs, innerzyklusinterne Korrektur und Diskontierung

Die erwarteten Kosten und QALYs ergeben sich aus der Multiplikation jeder Trace-Zeile mit dem Zustandsbelohnungsvektor, der Gewichtung mit einem zyklusinternen Gewicht und einem Diskontierungsfaktor sowie der anschließenden Summation: Gesamt = Summe über alle Zyklen von w _{_t} × d_{_t} × (Trace-Zeile × Belohnungsvektor). Der Diskontierungsfaktor ist d _{_t} = 1/(1 + r) ^{^t} . CHEERS 2022 fordert die Autoren auf, den Diskontierungssatz und die Gründe für seine Wahl anzugeben (Punkt 10).^³

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Die Zyklusgewichtung w_{_t} korrigiert die Zählung eines kompletten Zyklus zu einem Zeitpunkt. Elbasha und Chhatwal zeigen, dass die Standard-Halbzyklusmethode dasselbe kumulative Ergebnis wie die Trapezregel und die Sterbetafelmethode liefert, dass die Simpson-Drittelregel genauer ist und dass sich die Fehler in inkrementellen Ergebnissen nicht aufheben müssen. Sie empfehlen die Simpson-Drittelregel im Basisfall und andere Methoden in Sensitivitätsanalysen. ^{^4,8} Das einführende Tutorial beschreibt Gewichtungen von 1/3 am ersten und letzten Zeitpunkt mit 2/3 und 4/3 dazwischen. Der zugehörige Code ergibt 2/3 für Jahr 1, 4/3 für Jahr 2 usw.: 1/3, 2/3, 4/3, 2/3, …, 2/3, 1/3, was sich zu 9.33 summiert. ^7. Die Simpson-Reihenfolge nach Lehrbuch beginnt mit 1/3, 4/3, 2/3, und die Gewichtungen über die 11 Zeitpunkte summieren sich zu 10. Die beiden Reihenfolgen stellen unterschiedliche Möglichkeiten dar, und die Tabelle zeigt, wie sich jede auf das Tunnelzustandsmodell der Fallstudie auswirkt.

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Bei diesen Eingaben sinkt der ICER von 23,637 € ohne Korrektur auf 18,080 € mit der Halbzyklusmethode, 16,360 € mit Simpson-Gewichten in Lehrbuchreihenfolge und 16,065 € mit der im Tutorial verwendeten Reihenfolge. Diese Berechnung wurde von Editverse anhand des aus den gedruckten Eingaben rekonstruierten Tunnelzustandsmodells durchgeführt und dient daher als Beispiel für die Sensitivität gegenüber der Korrekturmethode.

Reales Beispiel: Erneutes Ausführen eines veröffentlichten Markov-Modells in R

Um zu prüfen, ob sich ein veröffentlichtes Markov-Modell anhand seiner Ausgaben rekonstruieren lässt, haben wir das Lehrmodell von Kouame et al., veröffentlicht in PLOS One im Juni 2026 unter CC BY 4.0, erneut ausgeführt . Es vergleicht die Standardtherapie mit einer innovativen Therapie für Brustkrebs in vier Bundesstaaten über zehn Jahre. Laut Datenerklärung wurden keine Daten verwendet.⁵ Es handelt sich um ein Rechenbeispiel, nicht um eine klinische Studie. Die von uns verwendeten Eingangsdaten sind in den Tabellen 1 und 2 aufgeführt^.

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Laut der Studie basiert die Matrix für die innovative Therapie auf der Standardbehandlungsmatrix. Daher verwendeten wir in beiden Studienarmen denselben Vektor für Remission bis Tod. Wir gingen davon aus, dass der Tod keine Kosten verursacht und keinen Nutzen birgt, da beides nicht angegeben ist. Wir wendeten den in der Studie genannten Diskontsatz von 2.5 % an (dort wird auch die Simpson-Drittelregel angewendet) und berechneten die Belohnungen für den Zustand am Ende jedes Zyklus von Jahr 0 bis Jahr 10. Die Remission wurde mit Tunnelzuständen modelliert, und die Gewichtungen innerhalb der Zyklusreihenfolge wurden in der im Tutorial-Code angegebenen Reihenfolge angewendet. Der R-Code der Studie ist auf GitHub gehostet, konnte aber von unseren Tools nicht geöffnet werden. Daher wurde die Gewichtungsreihenfolge aus dem Tutorial abgeleitet und durch den untenstehenden numerischen Vergleich bestätigt; sie stammt nicht aus dem Code der ^Autoren.⁵

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Zwei weitere Anmerkungen. Im Ergebnisteil der Studie werden 1.88 QALYs mit 16,354.72 € für die innovative Therapie korreliert, während Tabelle 3 der Standardtherapie 1.88 und der innovativen Therapie 2.05 zuordnet; wir haben die Tabelle verwendet.⁵ Die Übereinstimmung hängt von der Modellversion und der Gewichtungsreihenfolge ab: ^Bei gleichen Eingangsdaten ergibt die Standard-Simpson-Methode einen ICER von 16,360 €, die Halbzyklusmethode 18,080 € und die erste (zyklusindizierte) Version des Modells mit den in der Studie verwendeten Gewichtungen 16,079 €, was nahe am, aber nicht exakt dem angegebenen Wert liegt.

Was dieser Fall zeigt: Gedruckte Kosten, inkrementelle Kosten und ICER lassen sich centgenau aus einer Vier-Zustands-Matrix, Tunnelzuständen für Remission, 2.5 % Diskontierung und der im Tutorial verwendeten Gewichtungsreihenfolge reproduzieren. Allein die Wahl der Gewichte innerhalb eines Zyklus verschiebt den ICER zwischen 16,065 € und 23,637 €. Die im Tutorial verwendete Reihenfolge ist eine Wahl des Tutorials und entspricht nicht der Lehrbuch-Simpson-Reihenfolge, deren Gewichte sich zu 10 statt 9.33 summieren. Was der Fall nicht zeigt: Welchen Code die Autoren ausgeführt haben, da wir ihn nicht öffnen konnten; dass die im Tutorial verwendete Reihenfolge die bessere Methode ist, da Elbasha und Chhatwal die Simpson-Drittelregel empfehlen; und ^nichts über reale Patienten, da die Eingaben nur beispielhaft sind. Die praktische Lehre daraus ist, Code und alle Eingaben, einschließlich der Gewichte, zu veröffentlichen, wie es in den Punkten 16 und 22 von CHEERS 2022 gefordert wird^.

Berichterstattung über ein Markov-Modell: CHEERS 2022 und die ISPOR-SMDM-Arbeitsgruppen

CHEERS 2022 ersetzte die Erklärung von 2013 durch eine 28-Punkte-Checkliste für gesundheitsökonomische Bewertungen.^³ Dies sind die Punkte, die am stärksten mit einem Markov-Modell korrelieren, zusammen mit dem Wortlaut der Checkliste und unserem Vorschlag, was dargestellt werden sollte.

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Der Bericht der ISPOR-SMDM-Arbeitsgruppe zur Zustandsübergangsmodellierung bietet Konsensleitlinien, die nach Modelltyp (Kohorten- oder Individualebene), Modellstruktur, Modellparametern, Analyse, Berichterstattung und Kommunikation gegliedert sind.² ^Der zugehörige Bericht zur Parameterschätzung und Unsicherheit unterscheidet zwischen stochastischer (erster Ordnung) Unsicherheit, Parameterunsicherheit (zweiter Ordnung), Heterogenität und struktureller Unsicherheit und empfiehlt die Berichterstattung sowohl deterministischer als auch probabilistischer Sensitivitätsanalysen.⁹ Da die Verlagsseiten am 31. Oktober 2026 über unsere Tools nicht erreichbar waren, haben wir beide Berichte nur als PubMed-Abstracts gelesen. ^Bitte prüfen Sie daher den Volltext auf detaillierte Formulierungen.

Editverse prüft jedes Markov-Modell, bevor Sie ihm vertrauen.

1. 1Zeilen und Einträge. Die Summe jeder Zeile beträgt 1, kein Eintrag ist negativ oder größer als 1, und der Tod bleibt bei 1.
2. 2Spur. Die Spur summiert sich in jedem Zyklus zu 1.
3. 3Einheiten. Jeder Wert wurde in eine Wahrscheinlichkeit für Ihre Zykluslänge umgerechnet, nicht einfach übernommen.
4. 4Korrektur. Die Methode innerhalb eines Zyklus wird benannt und ihre Auswirkung auf den ICER wird aufgezeigt.
5. 5Rabattierung. Die Kosten- und QALY-Raten werden mit Begründung angegeben.
6. 6Reproduzierbarkeit. Der Code und alle Eingaben, einschließlich der Verteilungen, können vom Leser eingesehen werden.

Soll die Analyse ausgeführt oder überprüft werden? Wenden Sie sich an Editverse.

Die Fachexperten von Editverse arbeiten gemäß den Richtlinien von COPE, ICMJE und GPP 2022 und beachten dabei institutionelle und länderspezifische Ethikrichtlinien.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Markov-Modell in der Gesundheitsökonomie?

Es handelt sich um ein Modell, in dem sich eine hypothetische Kohorte stets in einem von wenigen Gesundheitszuständen befindet und in festgelegten Zeitabständen, sogenannten Zyklen, zwischen diesen wechselt. Jedes Ereignis stellt einen Übergang von einem Zustand in einen anderen dar. Sonnenberg und Beck beschreiben drei Möglichkeiten zur Evaluierung eines solchen Modells: Matrixalgebra, eine Kohortensimulation oder eine Monte-Carlo-Simulation. Kosten und qualitätsbereinigte Lebensjahre werden aus der Zeit addiert, die die Kohorte in jedem Zustand verbringt.

Was ist eine Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix?

Es handelt sich um eine quadratische Tabelle, in der jede Zeile den Zustand angibt, den die Kohorte verlässt, und jede Spalte den Zustand, den sie im nächsten Zyklus erreicht. Jeder Eintrag liegt zwischen 0 und 1, und die Summe jeder Zeile beträgt 1. Der Tod ist ein absorbierender Zustand, daher steht in seiner Zeile eine 1 auf der Diagonalen. Im Kouame-Lehrmodell beispielsweise beträgt der Wert in der Zeile „Rückfall“ 0.70 für das Verbleiben im Rückfall und 0.30 für den Übergang zum Tod.

Wie rechne ich eine Rate in eine Übergangswahrscheinlichkeit um?

Verwenden Sie p = 1 minus exp(-r mal t), wobei r die Rate und t die Zykluslänge in derselben Zeiteinheit wie die Rate ist. Berechnet mit Editverse in R, ergibt eine jährliche Rate von 0.15 eine jährliche Wahrscheinlichkeit von 0.1393 und eine monatliche Wahrscheinlichkeit von 0.01242, während die Division der Rate durch 12 0.01250 ergibt. Die Kurzformel p = r überschätzt die Wahrscheinlichkeit und ist bei großem r mal t nicht mehr aussagekräftig.

Was ist eine Halbzykluskorrektur und welche Methode sollte ich anwenden?

Es handelt sich um eine Korrektur innerhalb eines Zyklus, die den Fehler reduziert, der durch die Zählung eines gesamten Zyklus von Kosten und QALYs zu einem einzigen Zeitpunkt entsteht. Die Standard-Halbzyklusmethode liefert dasselbe kumulative Ergebnis wie die Trapezregel. Elbasha und Chhatwal empfehlen im Basisfall die Simpson-Drittelregel; weitere Methoden werden in der Sensitivitätsanalyse untersucht. Für das aus den Kouame-Eingaben erstellte Tunnelzustandsmodell berechnete Editverse einen ICER von 23,637 ohne Korrektur, 18,080 mit der Halbzyklusmethode, 16,360 mit Simpson-Gewichten in Lehrbuchreihenfolge und 16,065 mit der im Tutorial-Code verwendeten Gewichtungsreihenfolge.

Welchen Diskontsatz sollte ein Markov-Modell verwenden?

CHEERS 2022 legt keinen Diskontsatz fest. In Punkt 10 werden Sie gebeten, den oder die Diskontsätze sowie die Gründe für Ihre Wahl anzugeben. Beachten Sie daher die Richtlinien der jeweiligen Rechtsordnung oder der Zeitschrift, für die Sie schreiben, und geben Sie den Diskontsatz an. Das Kouame-Lehrmodell diskontierte sowohl die Kosten als auch die QALYs mit 2.5 Prozent pro Jahr über zehn Jahreszyklen.

Wie lang sollte der Zyklus sein und wie viele Zyklen benötige ich?

Die Anzahl der Zyklen multipliziert mit der Zykluslänge ergibt den Zeithorizont. In CHEERS 2022, Aufgabe 9, werden Sie gebeten, diesen anzugeben und seine Angemessenheit zu begründen. Elbasha und Chhatwal berichten, dass sich die Leistung aller Korrekturmethoden durch die Verwendung eines kürzeren Zyklus verbesserte.

Was stellt CHEERS 2022 in einem Beitrag zu einem Markov-Modell?

Die Checkliste mit 28 Punkten fordert Sie auf, das Modell zu beschreiben und anzugeben, ob es öffentlich verfügbar ist (Punkt 16), die Analysemethoden und die Validierung des Modells zu beschreiben (Punkt 17), alle analytischen Eingangsgrößen mit ihrer Unsicherheit oder Verteilung anzugeben (Punkt 22) und zu zeigen, wie sich Unsicherheit, Diskontsatz und Zeithorizont auf die Ergebnisse auswirken (Punkt 24).

Kann ich einem veröffentlichten Markov-Modell vertrauen, ohne es erneut auszuführen?

Die erneute Ausführung dient der Überprüfung. Editverse hat ein frei zugängliches Lehrmodell in R anhand der gedruckten Eingabedaten erneut ausgeführt. Die gedruckten Kosten, die inkrementellen Kosten und das ICER wurden centgenau reproduziert, ebenso die QALYs bis auf die gedruckten Ziffern, wenn die Remission mit Tunnelzuständen modelliert und die Gewichtungen innerhalb des Zyklus der Reihenfolge im Tutorial-Code entsprachen. Mit den Standard-Simpson-Gewichten betrug das ICER 16,360 pro QALY gegenüber den gedruckten 16,065. Fordern Sie den Code und die Eingabedaten an, die gemäß den Punkten 16 und 22 von CHEERS 2022 zur Verfügung gestellt werden sollen.

Referenzen

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2. Siebert U, Alagoz O, Bayoumi AM, et al. Zustandsübergangsmodellierung: ein Bericht der ISPOR-SMDM Modeling Good Research Practices Task Force-3. Wert Gesundheit. 2012;15(6):812-820. doi:10.1016/j.jval.2012.06.014. Abstract gelesen; die Verlagsseite war am 31. Oktober 2026 über unsere Tools nicht erreichbar. pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/22999130/
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9. Briggs AH, Weinstein MC, Fenwick EAL, et al. Schätzung von Modellparametern und Unsicherheit: ein Bericht der ISPOR-SMDM Modeling Good Research Practices Task Force-6. Wert Gesundheit. 2012;15(6):835-842. doi:10.1016/j.jval.2012.04.014. Abstract gelesen; die Verlagsseite war am 31. Oktober 2026 über unsere Tools nicht erreichbar. pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/22999133/

Editverse-Forschungsteam | Aktualisiert im Oktober 2026