Análisis de supervivencia: cómo entender la pérdida de clientes en las empresas basadas en suscripciones

Predecir la pérdida de clientes es, en esencia, un problema de análisis de supervivencia. Un negocio de suscripción rara vez pierde una cuenta de forma repentina. Las cancelaciones se producen de manera gradual a lo largo de los meses; algunas cuentas caducan silenciosamente tras una única renovación no realizada, mientras que otras se mantienen activas durante años antes de abandonarlas definitivamente. El análisis de supervivencia es la rama de la estadística diseñada para datos con esta estructura. En la investigación clínica, el evento de interés es la muerte o la recaída; en un negocio de suscripción, es la cancelación. En cualquier caso, el día en que se recopilan los datos, muchos pacientes siguen vivos y muchas cuentas siguen activas, y descartar esa información supondría desperdiciar la mayor parte del conjunto de datos. Lo que sigue se basa en los modelos de Kaplan-Meier y de riesgos proporcionales de Cox, utilizados en los ensayos oncológicos, y luego muestra, con un ejemplo práctico totalmente reproducible y fuentes revisadas por pares tanto del ámbito clínico como comercial, cómo los mismos modelos matemáticos predicen la pérdida de clientes.

Dos aspectos distinguen este texto de la mayoría de las explicaciones sobre análisis de negocios. Cada cita clínica que aparece a continuación enlaza con un artículo real indexado, y el ejemplo práctico central no es un estudio de caso hipotético disfrazado de empresa real, sino una curva de supervivencia y un modelo de Cox ajustado en tiempo real a un conjunto de datos oncológicos reales de 228 pacientes, que se incluye en el entorno estadístico estándar de R, respaldado por una segunda tabla ilustrativa, claramente etiquetada, que muestra cómo se aplica la misma aritmética a ocho cuentas de suscriptores hipotéticas.

Puntos Clave

• El análisis de supervivencia (también llamado análisis de tiempo hasta el evento) estima la probabilidad de que un paciente, suscriptor o cuenta aún no haya experimentado un evento definido en un momento dado, y está diseñado para utilizar registros "censurados", es decir, cuentas que siguen activas, en lugar de descartarlos.
• El estimador de Kaplan-Meier, publicado por Edward Kaplan y Paul Meier en 1958, ha sido citado más de 70,000 veces y produce la curva escalonada sobre la que se basan la mayoría de los gráficos de supervivencia.
• El modelo de riesgos proporcionales de Cox, introducido por David Cox en 1972, cuantifica cómo factores como el tipo de contrato, la frecuencia de uso o el volumen de solicitudes de soporte modifican el riesgo de abandono del cliente en relación con un grupo de referencia.
• Los investigadores de la Universidad de Gante, Dirk Van den Poel y Bart Larivière, fueron de los primeros en aplicar modelos de supervivencia de riesgos proporcionales directamente a datos de abandono de clientes en una revista de investigación operativa revisada por pares, y un estudio relacionado de 2007 aplicó el mismo marco a un operador de suscripción de televisión de pago.
• La prueba de log-rank, descrita para un público clínico por Bland y Altman en un artículo de 2004 ampliamente utilizado en la revista BMJ, es la forma estándar de comprobar si dos curvas de Kaplan-Meier, por ejemplo, las de suscriptores con contrato mensual frente a los de contrato anual, difieren en algo más que por azar.

¿Qué es el análisis de supervivencia y por qué es relevante para la gestión de la rotación de clientes?

El análisis de supervivencia estudia el tiempo que transcurre hasta que ocurre un evento definido y se desarrolló para resolver un problema que la regresión convencional maneja mal: la realidad del seguimiento incompleto. Un ensayo clínico termina antes de que todos los pacientes hayan fallecido; un conjunto de datos de suscripción se retira antes de que todos los clientes hayan cancelado. Los estadísticos denominan a una observación incompleta "censurada por la derecha", lo que significa que el evento aún no ha ocurrido para esa persona o cuenta en el momento de la última observación, no que el dato falte o sea incorrecto.

Tratar a un suscriptor censurado como si nunca fuera a darse de baja, o eliminarlo por completo del conjunto de datos, introduce sesgos. Los investigadores en la literatura de investigación clínica optaron por los métodos de supervivencia precisamente porque utilizan cada día que un paciente o cliente contribuyó, censurado o no, en lugar de solo los resultados que se observaron hasta la fecha límite. Esa misma lógica, que evita que un ensayo de cáncer de cinco años subestime la supervivencia, evita que un modelo de abandono sobreestime la lealtad aparente de un suscriptor promedio. Para un análisis más profundo de la disciplina tal como se enseña en epidemiología , los supuestos subyacentes se mantienen prácticamente sin cambios en un entorno de suscripción comercial.

Los componentes básicos: función de supervivencia, función de riesgo y censura.

Dos funciones realizan la mayor parte del trabajo en el análisis de supervivencia. La función de supervivencia, representada por S(t), proporciona la probabilidad de que el evento aún no haya ocurrido en el tiempo t, comenzando en 1.0 (todos están libres de eventos en el tiempo cero) y disminuyendo gradualmente hacia cero a medida que se acumulan los eventos. La función de riesgo, representada por h(t), proporciona el riesgo instantáneo de que el evento ocurra en el tiempo t, dado que el sujeto ha sobrevivido hasta ese momento. Una función de riesgo creciente para un grupo de clientes significa que el riesgo de cancelación se acelera a medida que los usuarios permanecen más tiempo, lo contrario de lo que asumen la mayoría de las empresas de suscripción.

La censura por la derecha, donde el evento no ha ocurrido al final del período de observación, es el tipo con el que los analistas se topan constantemente con los datos de abandono de clientes, ya que, por definición, toda cuenta que siga pagando el día en que se extrae el conjunto de datos está censurada por la derecha. La censura por la izquierda y la censura por intervalo aparecen con menos frecuencia en los datos de suscripción, pero son importantes en el trabajo clínico, por ejemplo, cuando se sabe que la fecha de un diagnóstico ocurrió algún tiempo antes de la inscripción. Obtener correctamente el indicador de censura, una columna que marca si cada fila terminó en un evento real o en el límite de observación, es la fuente de error más común cuando un analista de negocios crea su primer modelo de supervivencia.

El estimador Kaplan-Meier, que grafica cuánto tiempo permanecen los clientes.

Edward Kaplan y Paul Meier presentaron el estimador que lleva sus nombres en un artículo de 1958 publicado en el Journal of the American Statistical Association , titulado «Estimación no paramétrica a partir de observaciones incompletas», citado más de 70 000 veces, lo que lo convierte en uno de los artículos más referenciados en la historia de la estadística aplicada. A veces llamado estimador de producto-límite, el método recalcula la probabilidad de supervivencia en cada punto donde ocurre un evento multiplicando la probabilidad acumulada por la fracción del grupo aún en riesgo que sobrevivió a ese paso. Las observaciones censuradas salen del conjunto de riesgo sin afectar la curva, razón por la cual el método maneja correctamente los datos de suscripción incompletos en lugar de penalizar silenciosamente las cuentas que simplemente no han tenido tiempo de cambiar.

Un gráfico de Kaplan-Meier para una base de suscriptores se asemeja más a una escalera descendente que a una curva suave, y cada escalón marca un punto donde al menos una cuenta fue cancelada. La guía práctica de Rich y sus colegas , ampliamente utilizada en 2010 y publicada en Otolaryngology-Head and Neck Surgery, explica paso a paso este tipo de lectura de la curva, incluyendo cómo localizar el tiempo medio de supervivencia (el punto donde la curva cruza 0.50) y cómo las marcas a lo largo de un segmento plano representan sujetos censurados en lugar de una pausa en el riesgo. Aplicado a una cohorte de suscriptores, las mismas habilidades de lectura se traducen directamente. Donde la curva es pronunciada, la rotación de clientes se concentra, y donde se aplana, las cuentas que sobreviven se han estabilizado en un patrón de bajo riesgo. La estimación de Kaplan-Meier, tal como se aplica en la investigación oncológica , utiliza matemáticas idénticas, solo que la "muerte" se denomina "cancelación".

Comparación de grupos con la prueba de rangos logarítmicos

Al representar gráficamente dos curvas de Kaplan-Meier una al lado de la otra, por ejemplo, las de los suscriptores con contrato mensual frente a los de contrato anual, surge una pregunta obvia: ¿es real la diferencia observada o podría deberse al azar en una muestra de este tamaño? Una prueba de log-rank responde directamente a esta pregunta, comparando el número de eventos observados en cada grupo en cada momento con el número que se esperaría si ambos grupos compartieran una única curva de supervivencia subyacente.

La entrada de Martin Bland y Douglas Altman en BMJ Statistics Notes de 2004 sobre la prueba de log-rank sigue siendo una de las explicaciones más accesibles del método para un público no especializado, y plantea una idea que se aplica bien al análisis de la deserción de clientes. En lugar de los tiempos exactos de censura, la prueba utiliza únicamente la clasificación de cuándo ocurrieron los eventos en relación unos con otros, por lo que se mantiene incluso cuando la distribución de supervivencia subyacente no es uniforme ni simétrica, una situación común en los datos reales de suscriptores. Un resultado significativo de log-rank indica al analista que la curva de contratos anuales y la curva mensual divergen realmente; sin embargo, no explica por sí solo qué atributos específicos del cliente están causando esa diferencia, que es donde entra en juego el modelo de Cox.

El modelo de riesgos proporcionales de Cox y los factores determinantes de la deserción de clientes.

El artículo de David Cox de 1972, «Modelos de regresión y tablas de vida», publicado en el Journal of the Royal Statistical Society y citado más de 36 000 veces, resolvió un problema que el estimador de Kaplan-Meier por sí solo no puede solucionar: cuantificar el efecto de varias covariables sobre el riesgo de tiempo hasta el evento simultáneamente, sin necesidad de especificar la forma exacta del riesgo basal. El modelo de riesgos proporcionales de Cox estima una razón de riesgo para cada covariable. Por ejemplo, una razón de riesgo de 1.4 para «menos de dos inicios de sesión en el primer mes» significaría que ese comportamiento se asocia con un riesgo instantáneo de cancelación un 40 % mayor que el del grupo de referencia, manteniendo constantes las demás covariables.

Debido a que es una técnica genuinamente multivariante, un modelo de Cox puede separar el efecto de la sensibilidad al precio del efecto del compromiso de incorporación, incluso cuando ambos están correlacionados en los datos brutos, algo que una serie de comparaciones de una sola variable no puede hacer de manera confiable. Ese mismo razonamiento multivariante utilizado en otros problemas de estadística empresarial se aplica directamente aquí, y la versión clínica del modelo, incluyendo cómo se verifica y se informa el supuesto de riesgos proporcionales, se trata con mayor profundidad en la guía de Editverse sobre el modelo de Cox en la investigación de enfermedades crónicas.

Por qué las mismas estadísticas utilizadas en los ensayos oncológicos funcionan para predecir la deserción de suscriptores.

Un ensayo clínico y un modelo de suscripción guardan una relación más estrecha de lo que la mayoría de la gente supone. Un paciente inscrito al momento del diagnóstico se convierte en un cliente inscrito al registrarse; una recaída o el fallecimiento se traduce en una cancelación; la pérdida de seguimiento clínico se convierte en un cliente que aún está activo cuando se extrajo el conjunto de datos. Todas las técnicas diseñadas para gestionar el seguimiento incompleto de los ensayos oncológicos, incluyendo la censura, los cocientes de riesgo y la prueba de log-rank, se diseñaron precisamente en torno al tipo de datos "aún no ocurridos" que predominan en los registros de suscriptores.

La investigación publicada respalda el paralelismo, no solo la intuición. Dirk Van den Poel y Bart Larivière, ambos de la Universidad de Gante, publicaron en 2004 «Análisis de la pérdida de clientes en servicios financieros mediante modelos de riesgo proporcional» en el European Journal of Operational Research, un artículo que ahora se cita más de 400 veces, aplicando el marco de Cox directamente a la pérdida de clientes en lugar de a los resultados de enfermedades. Tres años después, Jonathan Burez y Van den Poel publicaron «Gestión de relaciones con el cliente en una empresa de televisión de pago» en Expert Systems with Applications, citado más de 230 veces, que utilizó modelos analíticos basados ​​en riesgos para reducir la pérdida de suscriptores en un operador de televisión por suscripción mediante marketing de retención dirigido. Ambos artículos se publicaron en revistas de investigación operativa y analítica aplicada revisadas por pares, en lugar de blogs de marketing, y ambos utilizaron la misma maquinaria de Kaplan-Meier y Cox descrita anteriormente, solo que con «suscriptor» donde en un artículo clínico se escribiría «paciente». Los lectores que tengan curiosidad por saber cómo se compara esto con los enfoques más recientes de aprendizaje automático para la inteligencia empresarial descubrirán que la mayoría de los sistemas de predicción de abandono de clientes basados ​​en el aumento de gradiente o las redes neuronales todavía toman prestada la lógica de censura directamente del análisis de supervivencia, porque el problema subyacente de los datos, la observación incompleta de un evento futuro, nunca desaparece.

Un ejemplo práctico totalmente reproducible: análisis de supervivencia en datos reales de tiempo hasta el evento.

En lugar de describir las cifras de abandono de una empresa ficticia, la tabla siguiente informa sobre el resultado real de un ajuste de Kaplan-Meier y un modelo de riesgos proporcionales de Cox ejecutado sobre un conjunto de datos genuino y documentado públicamente, el conjunto de datos de cáncer de pulmón NCCTG que viene con R survival paquete. Esos datos provienen de un Estudio de 1994 publicado en el Journal of Clinical Oncology por Loprinzi y colaboradores. En el North Central Cancer Treatment Group, se evaluó si los cuestionarios completados por los pacientes aportaban información pronóstica adicional a la registrada por el médico.

Cada cifra de esa tabla se corresponde con una interpretación de abandono sin cambiar las matemáticas. Un cociente de riesgo inferior a 1.0, como el 0.575 que se muestra para el sexo en este conjunto de datos, significa que ese grupo se enfrenta a un riesgo menor que el grupo de referencia en cada momento; en un modelo de abandono, un cociente de riesgo de 0.575 en "inscrito a través de una recomendación de un socio" significaría que los clientes recomendados cancelan con un riesgo aproximadamente un 43 % menor que los clientes adquiridos a través de la búsqueda de pago, todo lo demás igual. Un cociente de riesgo superior a 1.0, como el 1.590 que se muestra para el estado de rendimiento ECOG aquí, significa que la covariable aumenta el riesgo; el mismo patrón aparecería en un modelo de abandono como una covariable como "abrió menos de un ticket de soporte en el primer mes" que aumenta el riesgo de cancelación, ya que los clientes desvinculados que nunca se ponen en contacto para pedir ayuda suelen ser los que se marchan silenciosamente.

Aplicación del análisis de supervivencia a una cohorte de clientes que abandonan el servicio: un ejemplo práctico.

Para ilustrar cómo se aplica el mismo método de Kaplan-Meier a los datos de suscripción, la siguiente tabla muestra ocho cuentas de suscriptores hipotéticas. Cada número es meramente ilustrativo, creado para esta explicación y no extraído de los registros de ninguna empresa, con el fin de demostrar el cálculo y no representar una tasa de abandono de referencia.

Realizar el cálculo del límite del producto manualmente muestra exactamente lo que hace el software internamente. En el mes 3, las 8 cuentas están en riesgo y una cancela, lo que da una estimación de supervivencia de 7/8, o 0.875. En el mes 5, 7 cuentas permanecen en riesgo y una más cancela, por lo que la estimación acumulada se convierte en 0.875 multiplicado por 6/7, o 0.75. La cuenta C deja el conjunto de riesgo en el mes 6 por censura, no por cancelación, por lo que la curva no desciende; simplemente lleva 0.75 hacia adelante. En el mes 8, 5 cuentas permanecen en riesgo y una cancela, lo que reduce la estimación a 0.75 multiplicado por 4/5, o 0.60. Después de que la cuenta E censura en el mes 9, solo las cuentas F, G y H permanecen en riesgo, y cuando F cancela en el mes 11 la estimación cae a 0.60 multiplicado por 2/3, o 0.40. Dado que la curva cruza el valor de 0.50 entre los meses 8 y 11, el tiempo medio hasta la cancelación en esta pequeña cohorte ilustrativa es de 11 meses, del mismo modo que se obtiene el tiempo medio de supervivencia a partir de un gráfico clínico de Kaplan-Meier. Los analistas que pasen de las hojas de cálculo a un paquete estadístico para este tipo de análisis deberían consultar la guía práctica paso a paso para la preparación de datos, escrita para conjuntos de datos en formato de supervivencia , ya que la correcta estructuración de las columnas de tiempo y estado a nivel de cuenta es lo que permite realizar este cálculo.

Valor de vida del cliente: Conectando las curvas de supervivencia con los ingresos

El valor de vida del cliente es, matemáticamente, el área bajo la curva de supervivencia multiplicada por el margen por período. Sumando S(t) en cada período futuro y multiplicando por la ganancia obtenida de un cliente activo en cada período, se obtiene un valor de vida esperado que no requiere suponer que todos los clientes se comportan de manera idéntica, ya que la curva de supervivencia ya refleja que algunas cuentas se dan de baja pronto y otras persisten durante años.

Una versión simplificada de esa fórmula aparece constantemente en los paneles de control de los equipos de retención. Cuando el riesgo mensual de cancelación es aproximadamente constante a lo largo del tiempo, el valor esperado del cliente a lo largo de su vida útil se aproxima al margen mensual dividido por la tasa de riesgo mensual. Como cálculo matemático puro, no como estadística oficial, cincuenta dólares de margen mensual divididos por un riesgo mensual de 0.05 dan como resultado un valor esperado de mil dólares a lo largo de la vida útil; si se sustituyen las estimaciones de margen y riesgo de la propia empresa, la misma fórmula produce una cifra específica para la empresa en lugar de una regla general del sector. Este atajo de riesgo constante falla cuando el riesgo cambia con la antigüedad, lo cual es común, ya que muchas empresas de suscripción experimentan un pico de riesgo justo en torno a la fecha de renovación, y es precisamente en esta situación donde un modelo Cox completo, en lugar de una única tasa de abandono promedio, resulta útil. Las estadísticas descriptivas ordinarias, del tipo en el que se basan la mayoría de los informes de dinámica de mercado, capturan el promedio, pero solo un modelo de supervivencia captura la forma del riesgo a lo largo de la relación con el cliente, exactamente lo que necesita una estrategia de retención predictiva para programar una intervención correctamente.

Preparación de datos para un modelo de supervivencia ante la deserción de clientes.

Cuatro decisiones determinan si un modelo de supervivencia de abandono produce índices de riesgo fiables o sesgados. La elección del origen temporal es crucial, ya que la fecha de registro, la fecha del primer pago y el final de un período de prueba gratuito generan curvas de supervivencia diferentes a partir de los mismos eventos, por lo que el origen debe coincidir con la pregunta de negocio planteada. Definir el evento en sí es igualmente importante; una bandera de "cancelación" que se activa en la fecha de solicitud en lugar de la fecha real de finalización del servicio subestimará sistemáticamente la permanencia del cliente.

Se debe incluir una columna específica para el indicador de censura, codificada de forma consistente para que cada cuenta aún activa se marque como censurada en la fecha de extracción de datos, en lugar de ser eliminada silenciosamente o tratada como una baja prematura. Las covariables que cambian a lo largo de la relación, como la frecuencia de uso o el número de tickets de soporte, deben capturarse como covariables variables en el tiempo, en lugar de congelarse en los valores de registro, ya que un cliente que usó el producto intensamente en el primer mes y dejó de usarlo en el sexto no se parece en nada a uno que se mantuvo desvinculado de forma constante. La guía de Editverse basada en Stata para preparar datos de pacientes para análisis de supervivencia describe este mismo conjunto de decisiones para conjuntos de datos clínicos, y la lista de verificación se transfiere a los datos de suscripción casi sin modificaciones.

Riesgos no proporcionales, riesgos competitivos y otros escollos

Los modelos de Cox asumen que la razón de riesgo entre dos grupos se mantiene constante durante todo el período de seguimiento, una suposición que conviene verificar en lugar de aceptarla sin más. Cuando falla, por ejemplo, si los clientes con contrato anual comienzan con un riesgo mucho menor que los clientes con contrato mensual, pero la diferencia se reduce cerca de los dos años, un modelo de Cox extendido con covariables que interactúan con el tiempo o un modelo de Cox estratificado, que permite un riesgo basal diferente por estrato manteniendo compartidos los efectos de las covariables, generalmente soluciona el problema sin abandonar por completo el marco teórico.

Los riesgos competitivos introducen una complicación adicional. Una cuenta puede perderse por una simple cancelación, o puede desaparecer porque la empresa fue adquirida, la línea de productos se descontinuó o el negocio del cliente cerró. Tratar cada una de estas salidas como un evento de abandono común sobreestima el riesgo atribuible a la insatisfacción con el precio o el producto. El artículo de Austin, Lee y Fine de 2016 en Circulation sobre riesgos competitivos muestra, en un contexto cardiovascular, que tratar ingenuamente un evento competitivo como un evento de censura común sesga al alza la estimación de la incidencia acumulada, un hallazgo que se traslada directamente a los datos de abandono con múltiples razones de salida distintas. Un marco de riesgos competitivos, que se aborda con mayor profundidad en otras secciones de este sitio , junto con el enfoque de modelado multiestado relacionado para el seguimiento de cuentas a través de varios estados distintos , proporciona al analista de negocios una forma de diferenciar entre "decidió irse" y "se fue por una razón completamente ajena al producto".

Del modelo a la estrategia de retención: Actuando en función de los índices de riesgo

Un modelo Cox demuestra su valor en el momento en que sus índices de riesgo se traducen en una regla de segmentación. Si la desvinculación en los primeros treinta días conlleva un índice de riesgo de 2.0, un equipo de retención tiene una razón concreta y cuantificada para activar la comunicación de incorporación específicamente en ese período, en lugar de distribuir un presupuesto fijo de retención de manera uniforme entre la base de clientes. Dado que el modelo proporciona la función de riesgo, y no solo la tasa de abandono promedio, el momento oportuno es tan importante como la segmentación, ya que una intervención programada para justo antes de un pico de riesgo, como los días previos y posteriores a la fecha de renovación anual, tendrá un mejor rendimiento que el mismo mensaje enviado en un momento aleatorio de la relación.

Segmentar a los clientes según el riesgo previsto, en lugar de basarse en simples grupos demográficos, permite a un equipo abandonar la práctica común pero costosa de ofrecer el mismo descuento a todos los que podrían estar en riesgo. Un conjunto de herramientas de análisis predictivo más amplio, centrado en la retención de clientes, amplía esta misma idea con una puntuación de aprendizaje automático superpuesta al marco de supervivencia. Sin embargo, la razón de riesgo de un modelo de Cox bien especificado sigue siendo el punto de partida más interpretable para explicar a una persona sin conocimientos de estadística qué comportamientos provocan las cancelaciones y en qué medida.

Conclusión

El análisis de supervivencia proporciona a los negocios de suscripción el mismo rigor que los ensayos oncológicos han utilizado durante más de sesenta años: una forma de usar los datos de cada cuenta, ya sea que se haya cancelado o que siga activa el día en que se recopilaron las cifras, sin descartar información ni sesgar la estimación. Las curvas de Kaplan-Meier muestran cómo evoluciona la retención de una cohorte a lo largo del tiempo, la prueba de log-rank confirma si dos curvas difieren realmente y el modelo de riesgos proporcionales de Cox cuantifica con precisión qué atributos del cliente aceleran o ralentizan ese riesgo.

Nada de esto requiere creer en la palabra de nadie. El ejemplo práctico anterior se ejecutó con un conjunto de datos real y de acceso público, el análisis de la tasa de abandono se basa en artículos de investigación operativa revisados ​​por pares, en lugar de estudios de casos de marketing, y una tabla ilustrativa de suscriptores muestra los cálculos completos para que el lector pueda verificar cada paso.

Referencias

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