تبسيط اختبارات مربع كاي: دليل شامل مع أمثلة محلولة

نُشر في 20 يونيو 2026 | آخر تحديث في 29 أكتوبر 2026

يجيب اختبار مربع كاي على سؤال محدد: هل تختلف الإحصاءات المُلاحظة عبر مجموعة من الفئات عما تتوقعه الدراسات المستقلة أو النماذج المُحددة؟ قدّم كارل بيرسون هذا الاختبار عام ١٩٠٠ ، ولا يزال علماء الأوبئة يُجرونه أسبوعيًا لمقارنة معدلات التعرض بين المجموعات، وفحص بيانات النمط الجيني بحثًا عن الأخطاء، والتحقق مما إذا كانت حالات الإصابة بالمرض تتجمع حسب الموسم بدلًا من انتشارها بالتساوي على مدار العام. تميل الأدلة الأخرى المُنافسة في هذا الموضوع إلى إعادة صياغة الصيغة والتوقف عند هذا الحد. أما هنا، فيتم العمل على جدولين للتوافق يدويًا، ويتم التحقق من كل رقم باستخدام برامج إحصائية مستقلة، ويشرح الدليل بدقة متى يتوقف تقريب مربع كاي عن كونه موثوقًا، وعندها يجب استخدام اختبار فيشر الدقيق.

الوجبات السريعة الرئيسية

• A اختبار خي مربع يقارن عدد الفئات المرصودة مع العدد المتوقع في ظل نموذج صفري، باستخدام الإحصائية χ² = Σ(O − E)² / E.
• استخدم اختبار مربع كاي للاستقلال يتحقق مما إذا كان هناك علاقة بين متغيرين تصنيفيين؛ اختبار الملاءمة يتحقق مما إذا كان توزيع أحد المتغيرات يتطابق مع نمط مفترض.
• درجات الحرية بالنسبة لجدول الطوارئ يساوي (الصفوف - 1) × (الأعمدة - 1)؛ بالنسبة لجودة المطابقة، فإنها تساوي عدد الفئات ناقص 1، ناقص أي معلمات تم تقديرها من البيانات.
• تنص إرشادات كوكران لعام 1954 على أنه لا ينبغي أن تتجاوز نسبة الخلايا التي يقل عددها المتوقع عن 5 نسبة 20%، ولا ينبغي أن يقل عدد أي خلية عن 1. تجاوز هذا الحد و اختبار فيشر الدقيق يصبح الخيار الأكثر أماناً.
• تشير نتيجة اختبار مربع كاي ذات الدلالة الإحصائية إلى وجود ارتباط. أما قوة هذا الارتباط فهي مسألة منفصلة، ​​ويتم الإجابة عليها باستخدام نسبة الأرجحية، أو المخاطر النسبية، أو معامل كرامر V، وليس قيمة الاحتمالية وحدها.

ما هو اختبار مربع كاي؟

يُصنّف الإحصائيون إجراءات اختبار مربع كاي ضمن مجموعة تشترك في سمة واحدة. يتبع كل إحصاء اختبار توزيع مربع كاي عندما تكون الفرضية الصفرية صحيحة وحجم العينة كافيًا. يغطي عضوان من هذه المجموعة تقريبًا جميع حالات الاستخدام التي يواجهها الباحث عمليًا. يأخذ اختبار مربع كاي للاستقلال متغيرين فئويين مُقاسين على نفس الأفراد، مثل مجموعة العلاج والنتيجة السريرية، ويسأل عما إذا كانت قيمة أحدهما تتنبأ بقيمة الآخر. يأخذ اختبار مربع كاي لجودة المطابقة متغيرًا فئويًا واحدًا ويسأل عما إذا كان توزيعه المُلاحظ يُطابق توزيعًا مُحددًا مُسبقًا، مثل التوزيع المتساوي على مدار الفصول الأربعة أو النسبة الوراثية المندلية.

يعتمد الاختيار بين هذين الاختبارين، وبين اختبار مربع كاي واختبار آخر مختلف تمامًا، على كيفية جمع البيانات والسؤال المطروح. يمكن للقراء الذين ما زالوا يترددون في تحديد ما إذا كان اختبار مربع كاي هو الأنسب لبياناتهم، مراجعة أداة اختيار الاختبار التفاعلية في Editverse أو مخطط انسيابي للاختبارات الإحصائية قبل المتابعة.

يعتمد كلا الإصدارين من اختبار مربع كاي على نفس الإحصائية.

χ² = Σ (O − E)² / E

يرمز الحرف O إلى العدد المُلاحظ في فئة أو خلية، بينما يرمز الحرف E إلى العدد المتوقع في ظل الفرضية الصفرية، ويشمل المجموع جميع خلايا الجدول. يؤدي تربيع الفرق إلى إزالة الإشارة، لذا فإن كلاً من الزيادة والنقصان في العدد يدفعان الإحصائية إلى الأعلى، كما أن القسمة على E تُعدّل كل مربع فرق بالنسبة إلى العدد المتوقع فعليًا في تلك الخلية. يمكن لخلية يُتوقع أن تحتوي على 200 مُلاحظة أن تستوعب فجوة قدرها 10 مُلاحظات دون أي مشكلة تُذكر. أما الخلية التي يُتوقع أن تحتوي على 5 مُلاحظات فلا يمكنها ذلك، وتعكس القسمة على E هذا الأمر بشكل مباشر.

كيفية حساب إحصائية اختبار مربع كاي

تُستمد التكرارات المتوقعة من الفرضية الصفرية، وليس من رقم مُختار تقريبيًا. في جدول التوافق، يساوي العدد المتوقع لأي خلية مجموع صفها مضروبًا في مجموع عمودها، مقسومًا على المجموع الكلي. هذه الصيغة ناتجة مباشرة عن فرضية الاستقلال. إذا لم يكن هناك أي ارتباط بين متغيرين، فإن نسبة عمود معين تقع في صف معين يجب أن تتطابق مع النسبة الإجمالية لهذا الصف في الجدول بأكمله.

يوضح مثال بسيط هذا الأمر. لنفترض أن 100 مريض قُسِّموا إلى مجموعتين: 50 مريضًا تلقوا العلاج و50 مريضًا لم يتلقوا العلاج. صُنِّف 45 مريضًا من أصل 100 على أنهم شُفوا، بينما صُنِّف 55 مريضًا على أنهم لم يُشفوا. بافتراض استقلالية الحالات، من المتوقع أن تُظهر المجموعة التي تلقت العلاج نفس نسبة الشفاء البالغة 45% التي تُظهرها المجموعة التي لم تتلقَّ العلاج. وبالتالي، فإن العدد المتوقع للمرضى الذين شُفوا من بين المجموعة التي تلقت العلاج يساوي 50 × 45 ÷ 100، أي 22.5. لا يشترط أن تكون الأعداد المتوقعة أعدادًا صحيحة، بل الأعداد المُلاحظة فقط هي التي تكون كذلك.

تعتمد حسابات التكرار المتوقع لاختبار جودة المطابقة على نفس المبدأ، ولكنها تستند إلى نسبة مفترضة بدلاً من متغير ثانٍ. فعلى سبيل المثال، عند اختبار ما إذا كانت 200 حالة إصابة بالمرض موزعة بالتساوي على أربعة فصول، يتم تحديد التكرار المتوقع لكل فصل عند 200 × 0.25، أي 50، ثم يقيس الاختبار مدى انحراف التكرارات الموسمية الفعلية عن هذا الخط المستقيم.

درجات الحرية في اختبار مربع كاي

تحدد درجات الحرية شكل توزيع مربع كاي. قد يغفل المرء بسهولة عن قيمة درجات الحرية غير المتطابقة عند كتابة قسم النتائج، إلا أنها تُغير القيمة الحرجة التي تُقارن بها الإحصائية، وقد تُغير نتيجةً هامشية من دالة إحصائيًا إلى غير دالة أو العكس. بالنسبة لجدول توافق يتكون من r صفًا و c عمودًا، فإن درجات الحرية تساوي (r − 1)(c − 1). لذا، يحمل الجدول القياسي 2×2 درجة حرية واحدة فقط، لأنه بمجرد تثبيت مجموع الصف والعمود، لا يمكن أن تتغير سوى خلية واحدة بحرية قبل أن تُحذف باقي الخلايا بالطرح.

تتبع درجات حرية جودة المطابقة قاعدةً مشابهةً ولكنها مختلفة. فهي تساوي عدد الفئات ناقص واحد، ناقص درجة إضافية لكل مُعامل مُقدَّر من العينة بدلاً من تحديده مُسبقًا. اختبار أربعة مواسم مقابل توقع ثابت بنسبة 25% يستخدم 4 - 1 = 3 درجات حرية، نظرًا لعدم تقدير أي شيء من البيانات. أما اختبار عدد الأنماط الجينية مقابل نسب هاردي-واينبرغ فهو أكثر تعقيدًا، لأن تردد الأليل المستخدم لبناء نسب الأنماط الجينية المتوقعة يُقدَّر بدوره من نفس العينة، وتتطلب خطوة التقدير هذه درجة حرية إضافية تتجاوز قاعدة العدد ناقص واحد البسيطة.

اختبار مربع كاي للاستقلال: مثال محلول بالكامل

لنفترض مقارنة بين مجموعتين من 100 مريض، 50 منهم تلقوا العلاج و50 لم يتلقوه، مع جدولة النتائج وفقًا لنتيجة ثنائية (شفاء أو عدم شفاء). يمكن استخدام هذه البيانات نفسها في حاسبة اختبار مربع كاي الخاصة بـ Editverse كمثال قابل للتحميل، مما يسمح بإعادة إنتاج كل خطوة من الخطوات التالية فورًا.

تتبع الأعداد المتوقعة قاعدة مجموع الصف مضروبًا في مجموع العمود من القسم السابق. العدد المتوقع للمرضى الذين تلقوا العلاج والشفاء هو 50 × 45 ÷ 100 = 22.5. العدد المتوقع للمرضى الذين تلقوا العلاج ولم يُشفوا هو 50 × 55 ÷ 100 = 27.5. العدد المتوقع للمرضى الذين لم يتلقوا العلاج والشفاء هو 50 × 45 ÷ 100 = 22.5. العدد المتوقع للمرضى الذين لم يتلقوا العلاج ولم يُشفوا هو 50 × 55 ÷ 100 = 27.5. كل عدد متوقع يتجاوز عتبة كوكران البالغة 5، لذا ينطبق تقريب مربع كاي العادي دون أي تحفظ.

تساهم كل خلية بـ (O − E)² ÷ E في المجموع. تساهم الخلايا المعالجة والمتعافية بـ (30 − 22.5)² ÷ 22.5 = 2.500. تساهم الخلايا المعالجة وغير المتعافية بـ (20 − 27.5)² ÷ 27.5 = 2.045. تساهم الخلايا غير المعالجة والمتعافية بـ (15 − 22.5)² ÷ 22.5 = 2.500. تساهم الخلايا غير المعالجة وغير المتعافية بـ (35 − 27.5)² ÷ 27.5 = 2.045. بجمع هذه المساهمات الأربع، نحصل على قيمة χ² = 9.091 عند درجة حرية واحدة، ما يعادل قيمة p = 0.0026، وهي أقل بكثير من الحد الأدنى المتعارف عليه وهو 0.05. بتطبيق تصحيح ييتس للاستمرارية، الذي تم تناوله بالتفصيل لاحقًا، تنخفض الإحصائية إلى 7.919 (قيمة p = 0.0049)؛ بينما يُظهر اختبار فيشر الدقيق الذي أُجري بشكل مستقل على الجدول نفسه قيمة p = 0.0046. تتفق الطرق الثلاث جميعها على وجود ارتباط بين العلاج والنتيجة، وهو تحديدًا نوع التثليث الذي يرغب مُراجع المخطوطة في رؤيته في قسم النتائج.

لا تكفي الدلالة الإحصائية وحدها لوصف قوة الارتباط. تتراوح احتمالية الشفاء بين 30 و20 لدى المرضى المعالجين، مقابل 15 إلى 35 لدى المرضى غير المعالجين، مما يعطي نسبة احتمالات (30 × 35) ÷ (20 × 15) = 3.5. ويُحسب معامل كرامر V، وهو مقياس لحجم التأثير قائم على اختبار مربع كاي، ويتراوح بين 0 و1 لجدول 2×2، ليبلغ الجذر التربيعي لـ (9.091 ÷ 100)، أي 0.30، وهو ما يضعه بين الارتباط الضعيف والمتوسط ​​وفقًا للمعايير التقليدية. إن ذكر قيمة الاحتمالية (p-value) بجانب نسبة الاحتمالات ومعامل كرامر V، بدلًا من ذكر قيمة الاحتمالية وحدها، يميز قسم النتائج الجاهز للنشر عن القسم الذي قد يثير استفسارات المراجعين. يتبع شرح ماك هيو لدراسة التطعيم في مكان العمل نفس التسلسل: أصيب 23 من أصل 92 موظفًا غير مطعمين بالتهاب رئوي بالمكورات الرئوية مقابل 5 من أصل 92 مطعمين، ويثبت اختبار مربع كاي أن الفرق ليس صدفة، ثم يوضح معامل كرامر V مدى قوته.

جدول التوافق والتكرارات المتوقعة: مثال واقعي 2×2

يُظهر جدول التوافق تقاطع متغيرين فئويين، ويقارن اختبار مربع كاي عدد مرات ظهور كل خلية بتكرارها المتوقع : مجموع الصف × مجموع العمود ÷ المجموع الكلي. قامت تجربة RECOVERY بتوزيع مرضى كوفيد-19 المُدخلين إلى المستشفى عشوائيًا إلى مجموعتين: مجموعة تتلقى ديكساميثازون 6 ملغ يوميًا، ومجموعة تتلقى الرعاية المعتادة، وتم إحصاء الوفيات خلال 28 يومًا. التقرير النهائي متاح مجانًا على PubMed Central ، ويُقدم ملخصه جميع الإحصاءات اللازمة: 2,104 مرضى يتلقون ديكساميثازون، و4,321 يتلقون الرعاية المعتادة، و482 حالة وفاة و1,110 حالات وفاة على التوالي.

الخطوة 1: التكرارات المتوقعة

لو لم يُحدث الديكساميثازون أي فرق، لانقسمت الوفيات بما يتناسب مع حجم المجموعة. بلغ إجمالي الوفيات 1,592 من أصل 6,425. الوفيات المتوقعة مع الديكساميثازون = 1,592 × 2,104 / 6,425 = 521.33 ؛ الوفيات المتوقعة مع الرعاية المعتادة = 1,592 × 4,321 / 6,425 = 1,070.67 . بلغت الوفيات المُسجلة 482 و1,110، أي أن الديكساميثازون يُقلل الوفيات بمقدار 39.3 عن المتوقع، بينما الرعاية المعتادة تزيد بمقدار 39.3.

الخطوة الثانية: إحصائية الاختبار

χ² = Σ (O − E)² / E = 5.87 بدرجة حرية واحدة، وقيمة p = 0.015. مع تصحيح ييتس، χ² = 5.72 (p = 0.017). البواقي المعيارية هي -1.72 (ديكساميثازون، توفي) و+1.20 (الرعاية المعتادة، توفي)؛ لا تتجاوز أي منها ±2، لذا لا توجد خلية منفردة شاذة. كل عدد متوقع أعلى من 500، لذا فإن تقريب العينة الكبيرة آمن. R chisq.test و بايثون scipy.stats.chi2_contingency تم إرجاع قيم متطابقة.

اختبار مربع كاي لجودة المطابقة: مثال عملي ثانٍ

كثيراً ما تطرح فرق الترصد نوعاً مختلفاً من الأسئلة، ليس ما إذا كان هناك ارتباط بين متغيرين، بل ما إذا كان توزيع أحد المتغيرين يطابق نمطاً متوقعاً. لنفترض أن إدارة صحية سجلت 200 حالة مؤكدة لمرض معوي خلال سنة تقويمية، وتريد معرفة ما إذا كانت حالات الإصابة تتجمع حسب الموسم أم تتوزع بالتساوي. في ظل فرضية العدم التي تفترض عدم وجود موسمية، يتوقع كل موسم من المواسم الأربعة 200 × 0.25 = 50 حالة.

بجمع المساهمات عبر الفصول الأربعة، بلغ مجموعها χ² = 19.32 على 4 − 1 = 3 درجات حرية، مما أعطى قيمة p = 0.00023. هذه النتيجة ترفض بشكل قاطع فرضية التوزيع المتساوي. تُشكل مساهمة الشتاء البالغة 9.68 ومساهمة الصيف البالغة 5.78 معظم الإحصائية الإجمالية، مما يُشير مباشرةً إلى موضع الانحراف الفعلي. يتجاوز الشتاء حصته المتوقعة بكثير، بينما يقل الصيف عنها بكثير، بدلاً من أن تنحرف جميع الفصول قليلاً في نفس الاتجاه، وهو تمييز لا تكشفه قيمة p الإجمالية وحدها، ويتطلب فحص مساهمة كل خلية على حدة لإدراكه.

يظهر هذا الهيكل نفسه في جميع أنحاء علم الأوبئة، وغالبًا ما يُستخدم للتحقق من توافق عدد الأنماط الجينية مع توازن هاردي-واينبرغ كخطوة لمراقبة جودة التنميط الجيني، أو للتحقق من توافق التشخيص مع النسب المتوقعة المستمدة من مجتمع مرجعي. لا تتغير الآلية أبدًا. حدد النسب الصفرية، واضربها في حجم العينة الكلي للحصول على الأعداد المتوقعة، واجمع مربعات الفجوات المعيارية، وقارن المجموع بتوزيع كاي تربيع بدرجات الحرية المطابقة.

متى يفشل اختبار مربع كاي: انخفاض عدد الخلايا المتوقعة

إحصائية مربع كاي هي مجرد تقريب. يفترض توزيعها المرجعي أن تتصرف أعداد الخلايا بشكل مشابه لكمية متصلة، طبيعية تقريبًا، بحيث يرسم مجموع مربعات الانحرافات المنفصلة منحنى مربع كاي سلسًا. يستند هذا الافتراض إلى أن كل خلية تحتوي على عدد متوقع كبير نسبيًا، تمامًا كما يحتاج التقريب الطبيعي لنسبة ذات الحدين إلى عدد كافٍ من المحاولات قبل أن يتوقف عن الانحراف عند الأطراف. بمجرد أن ينخفض ​​العدد المتوقع إلى 2 أو 3، تصبح القيم القليلة التي يمكن أن يأخذها العدد المرصود متباعدة جدًا مقارنةً بانتشارها، ويصبح توزيع المعاينة الحقيقي للإحصائية غير منتظم بدلًا من أن يكون سلسًا، ولا يتناسب منحنى مربع كاي معه بشكل جيد.

حوّلت ورقة ويليام كوكران البحثية المنشورة عام 1954 في مجلة Biometrics هذا القلق النظري إلى قاعدة عملية لا تزال تُدرّس حتى اليوم. يجب ألا تتجاوز نسبة الخلايا التي يقلّ عدد قيمها المتوقعة عن 5 نسبة 20%، ويجب ألا تقلّ قيمة أي خلية عن 1؛ فإذا تجاوزت أيًّا من هاتين النسبتين، فلن يكون بالإمكان الوثوق بقيمة p المُبلغ عنها. وقد أسفرت دراسات المحاكاة في تلك الحقبة عن هذه القاعدة بدلًا من برهانٍ مُغلق، واستمرت الدراسات اللاحقة في تأكيد هذا القلق الأساسي حتى مع استمرار النقاش حول العتبة الدقيقة، بما في ذلك الدراسات المنهجية حول اختبار هاردي-واينبرغ التي تصف اختبار مربع كاي العادي لجودة المطابقة بأنه شديد الحساسية لصغر حجم العينة أو ندرة تردد الأليل.

يوضح جدول صغير مُعدّ مسبقًا الأهمية العملية بوضوح. لنأخذ جدولًا 2×2 يحتوي على 4، 1، 1، و4 تكرارات، حيث يساوي كل تكرار متوقع 2.5، وهو أقل بكثير من الحد الأدنى لاختبار كوكران. تبلغ قيمة إحصائية مربع كاي غير المصححة 3.6 عند درجة حرية واحدة، وقيمة p = 0.058، وهي نتيجة مغرية بما يكفي لوصفها بأنها "تقترب من الدلالة الإحصائية". يُخفض تصحيح ييتس للاستمرارية قيمة مربع كاي في الجدول نفسه إلى 1.6 (p = 0.206)، ويصل اختبار فيشر الدقيق، الذي أُجري بشكل مستقل، إلى قيمة p = 0.206 أيضًا، متفقًا تقريبًا مع قيمة مربع كاي المصححة ومتناقضًا تمامًا مع القيمة غير المصححة. إن ذكر قيمة p غير المصححة هنا من شأنه أن يُبالغ في تقدير الأدلة على وجود ارتباط لا يدعمه الاختبار الدقيق.

شرح تصحيح ييتس للاستمرارية

اقترح فرانك ييتس حلاً للجداول الصغيرة 2×2 في ورقة بحثية نُشرت عام 1934 في مجلة الجمعية الإحصائية الملكية . ولأن توزيع كاي تربيع متصل، بينما عدد الخلايا أعداد صحيحة منفصلة، ​​اقترح ييتس طرح 0.5 من القيمة المطلقة لكل فرق (O − E) قبل التربيع، مما يُقلل من حجم الإحصائية ويرفع قيمة الاحتمالية (p-value) مقارنةً بالنسخة غير المصححة. في الجدول الصغير 4-1-1-4 المذكور أعلاه، أدى هذا التعديل إلى خفض الإحصائية من 3.6 إلى 1.6، وهو تحديدًا نوع التصحيح الذي يهدف إلى منع الاختبار غير المصحح من المبالغة في إظهار الدلالة الإحصائية في الجداول ذات البيانات المتفرقة.

لقد دار جدلٌ لعقودٍ حول ما إذا كان ينبغي تطبيق هذا التصحيح افتراضيًا، دون التوصل إلى حلٍّ نهائي، ولن يدّعي هذا الدليل أن المسألة محسومة. جادل هافيلاند في بحثه المنشور عام ١٩٩٠ في مجلة "الإحصاء في الطب" بأن إحصائية ييتس المصححة متحفظةٌ للغاية، وأن اختبار مربع كاي لبيرسون البسيط يُسيطر بالفعل على الخطأ من النوع الأول بشكلٍ كافٍ لمعظم جداول ٢×٢ التي يواجهها الباحثون. لكن تحليلًا أحدث توصل إلى نتيجةٍ معاكسة. يوصي بريسكوت في بحثه المنشور عام ٢٠٢١ في مجلة "الإحصاء في الطب" باختبار جداول ٢×٢ باستخدام ضعف الاحتمال الدقيق أحادي الطرف من اختبار فيشر، أو مربع كاي المصحح لييتس كتقريبٍ له، وتحديدًا لتطبيقات البحث الطبي. ونظرًا لهذا الخلاف القائم بين الإحصائيين المتخصصين، فإن الموقف العملي الأكثر أمانًا هو الإبلاغ عن الإصدار المستخدم والاعتماد على اختبار فيشر الدقيق بدلًا من أيٍّ من متغيرات مربع كاي عندما يكون حجم الجدول صغيرًا بما يكفي ليُحدث الاختيار فرقًا.

تُظهر تجربة منشورة مدى اختلاف نتائج الاختبارات. في تجربة النترات الوريدية التي استخدمها بيويك، تشيك، وبول لتعليم اختبارات جداول التوافق ، توفي 3 من أصل 50 مريضًا خضعوا للعلاج، و8 من أصل 45 في المجموعة الضابطة. أعطت قيمة مربع كاي غير المصححة χ² = 3.21 عند درجة حرية واحدة (p = 0.073)، بينما انخفضت قيمة إحصائية ييتس المصححة إلى 2.16 (p = 0.141)، وأعطى اختبار فيشر الدقيق، الذي يُحسب بضعف احتمالية الاختبار أحادي الطرف، قيمة p = 0.140. تُعد النسخة غير المصححة أقرب بشكل ملحوظ إلى مستوى الدلالة الإحصائية من النسختين الأخريين، وهذا تحديدًا ما يُبرر ذكر النسخة المستخدمة في قسم المنهجية.

إديتوفيرس

موصى به لهذه المقالة

هل تحتاج إلى إجراء هذا التحليل أو التحقق منه؟ يقوم أخصائي إحصاء حيوي حاصل على درجة الدكتوراه بمراجعة تصميم دراستك، وإجراء التحليل، وكتابة فقرة الأساليب الإحصائية لمخطوطتك.

Editverse.com

التحليل الإحصائي ومراجعة المخطوطات

$475

اطلع على الخدمة

حاصل على درجة الدكتوراه في الإحصاء الحيويقسم الأساليب مكتوب خصيصًا لكتم تضمين التعديلات لمدة 60 يومًا

اختبار فيشر الدقيق: البديل للعينات الصغيرة

وصف رونالد فيشر المنهجية الدقيقة في ورقة بحثية نُشرت عام ١٩٢٢ في مجلة الجمعية الإحصائية الملكية ، مستندًا إلى منطق جداول التوافق نفسه الذي قدمه بيرسون قبل عقدين من الزمن. فبدلًا من تقريب توزيع المعاينة بمنحنى أملس، يُثبّت اختبار فيشر الدقيق مجاميع الصفوف والأعمدة، ويحسب الاحتمال الدقيق لكل جدول ممكن على الأقل بنفس درجة التطرف التي لوحظت، باستخدام التوزيع الهندسي الفائق. عدم وجود خطوة تقريب يعني عدم وجود خطر عدم تطابق المنحنى الأملس المذكور أعلاه، وهذا تحديدًا ما يجعل الاختبار الدقيق صالحًا في حين أن اختبار مربع كاي العادي غير صالح.

يستعرض ساهي وخورشيد في مراجعتهما المنشورة عام ١٩٩٥ في مجلة الإحصاءات الصيدلانية الحيوية المفاضلات بالتفصيل، ويشيران إلى أن الاختبار الدقيق قد يكون متحفظًا في بعض تكوينات الجداول، لذا فإن التحول إلى اختبار فيشر لا يُنتج بالضرورة اختبارًا أقوى، بل اختبارًا أكثر قابلية للدفاع عنه فقط عندما تكون أحجام العينات صغيرة. وينبثق من عتبة كوكران المذكورة أعلاه قاعدة قرار عملية: إجراء اختبار مربع كاي العادي عندما يصل كل عدد متوقع، أو معظمه، إلى ٥ أو أكثر، والتحول إلى اختبار فيشر الدقيق بمجرد عدم تحقق هذا الشرط، بغض النظر عن حجم العينة الإجمالي الظاهر، لأن المجموع الكلي الكبير قد يُخفي خلية واحدة متفرقة داخل جدول غير متوازن.

تطبيقات اختبار مربع كاي في علم الأوبئة في العالم الحقيقي

تعتمد الأبحاث الوبائية المنشورة باستمرار على اختبارات مربع كاي، وغالبًا ما تُستخدم كخطوة أولى قبل اللجوء إلى نماذج أكثر تعقيدًا. ويذكر دليل هازرا وغوغتاي للإحصاء الحيوي في المجلة الهندية للأمراض الجلدية أن اختبار مربع كاي لبيرسون، واختبار مربع كاي لماكنيمار للبيانات الثنائية المزدوجة، واختبار مربع كاي لمانتل-هاينزل للجداول الطبقية، هي أكثر ثلاثة أنواع يستخدمها الباحثون السريريون، حيث يناسب كل منها بنية بيانات مختلفة، وليست جميعها خيارات قابلة للتبادل.

يعتمد علم الأوبئة الوراثية على اختبار جودة المطابقة كخطوة روتينية لمراقبة الجودة. تختبر دراسات التنميط الجيني ما إذا كانت أعداد الأنماط الجينية المرصودة في موقع جيني معين تتطابق مع نسب هاردي-واينبرغ، وغالبًا ما يشير الانحراف الكبير إلى خطأ في التنميط الجيني، أو تباين في التركيب السكاني، أو ضغط انتقائي حقيقي، وليس مجرد نتيجة يمكن الإبلاغ عنها بشكل مباشر. هذا التمييز تشرحه فصول مناهج علم الوراثة المتعلقة باختبار هاردي-واينبرغ بالتفصيل للباحثين الذين يجرون دراسات الارتباط الجيني. في إحدى عمليات مسح الجينوم ، أشار اختبار هاردي-واينبرغ ذو درجة حرية واحدة، والذي أُجري على 44 موقعًا جينيًا، إلى وجود فائض كبير من المتماثلات الجينية الظاهرة في 7 مواقع (χ² > 6)، وهو نمط يوحي بوجود خطأ في التنميط. يشرح أحد الدروس التعليمية الشائعة الاستخدام حول جدول 2×2 المنشور في مجلة الإعاقة وإعادة التأهيل جدول عوامل خطر الإصابة بسرطان الثدي من البداية إلى النهاية ويجادل بأن محرري المجلات يجب أن يطلبوا كلاً من عدد الخلايا المرصودة والمتوقعة في كل جدول منشور، وليس إحصائية الاختبار وحدها، حتى يتمكن القراء من الحكم بأنفسهم ما إذا تم استيفاء عتبة كوكران.

خارج نطاق علم الوراثة، يظهر اختبار الاستقلالية في مقارنات الحالات والشواهد للتعرض حسب الحالة المرضية، والدراسات الاستقصائية المقطعية التي تقارن نتيجة تصنيفية عبر الشرائح الديموغرافية، والدراسات التشخيصية التي تقارن نتائج الاختبارات عبر مجموعات فرعية من المرضى. يتم التحقق من بيانات المراقبة باستخدام نسخة جودة المطابقة كلما دعت الحاجة إلى مقارنتها بنمط متوقع، موسمي أو غير ذلك، تمامًا كما هو موضح أعلاه.

الأخطاء الشائعة في كتابة تقارير اختبار مربع كاي

تتكرر بعض الأخطاء في المخطوطات المقدمة والأوراق المنشورة على حد سواء.

• إدخال النسب المئوية بدلاً من الأعداد الخام. تعتمد معادلات مربع كاي على الترددات، وليس النسب، لذا فإن تحويل النسبة المئوية إلى عدد فعلي قبل الاختبار أمر إلزامي وليس اختياريًا.
• تجاهل عتبة العدد المتوقع. إن نشر قيمة مربع كاي من جدول يحتوي على عدة خلايا أقل من 5، دون الاعتراف بالقيود أو التحول إلى اختبار فيشر الدقيق، يصنف من بين أكثر الأخطاء الإحصائية التي يمكن تجنبها في هذا المجال.
• تطبيق اختبار الاستقلال على البيانات المزدوجة. إن القياسات قبل وبعد أو الأزواج المتطابقة على نفس الأشخاص تنتهك فرضية الاستقلال بشكل صريح. اختبار ماكنمار يوجد هذا المكان خصيصاً لمثل هذه الحالة.
• الإبلاغ عن الأهمية الإحصائية دون تحديد حجم التأثير. تؤكد قيمة p وجود ارتباط. أما ما إذا كان هذا الارتباط كبيرًا بما يكفي ليؤثر سريريًا فهو سؤال منفصل، لذا فإن قيمة كرامر V أو فاي أو نسبة الاحتمالات ينتمي إلى جانب كل نتيجة من نتائج اختبار مربع كاي.
• فهم درجات الحرية بشكل خاطئ. يسهل على المراجع الإحصائي اكتشاف القيمة غير المتطابقة، وهذا يشير إلى أن التحليل لم يتم فحصه بعناية قبل تقديمه.

كيفية كتابة تقرير اختبار مربع كاي في مخطوطتك

تتبع معظم المجلات في العلوم الصحية نموذجًا موحدًا لإعداد التقارير. يُذكر اسم الاختبار، ودرجات الحرية بين قوسين، وحجم العينة، والإحصائية، وقيمة الاحتمال (p-value)، بهذا الترتيب، على سبيل المثال: "χ²(1, N = 100) = 9.09, p = .003". يلي ذلك مباشرةً حجم التأثير، وفي حالة الجداول 2×2، نسبة الأرجحية أو المخاطر النسبية مع فاصل الثقة الخاص بها. ويشير دليل شائع الاستخدام حول سوء تفسير الإحصاءات، نُشر في المجلة الأوروبية لعلم الأوبئة، إلى أن قيمة الاحتمال وحدها، دون تقدير فاصل الثقة المصاحب لها، قد تدفع القراء إلى المبالغة في تفسير الدلالة الإحصائية على أنها كبيرة أو مهمة.

ينبغي أن يُظهر جدول النتائج عدد مرات الملاحظة لكل خلية، وليس النسب المئوية فقط، حتى يتمكن القارئ المُدقّق من إعادة حساب الاختبار بشكل مستقل. يجب أن تُحدد أقسام المنهجية نوع التصحيح المُطبق، إن وُجد، سواء كان تصحيح بيرسون غير المُصحّح، أو تصحيح ييتس، أو تصحيح فيشر الدقيق، مع ذكر البرنامج والإصدار المُستخدمين. قد يجد الباحثون الذين ما زالوا يُوازنون بين اختبار مربع كاي وخيارات أخرى لخطة تحليل أوسع، دليل Editverse لاختيار الاختبار الإحصائي المناسب مفيدًا لأجزاء المخطوطة التي لا تندرج ضمن البيانات الفئوية.

خاتمة

يتطلب إجراء اختبار مربع كاي بشكل صحيح أكثر من مجرد إدخال القيم في معادلة. يجب أن تُستمد التكرارات المتوقعة من فرضية صفرية واضحة، وأن تتطابق درجات الحرية مع الشكل الفعلي للجدول، وأن يُبنى اختيار اختبار مربع كاي العادي، أو النسخة المصححة وفقًا لـ Yates، أو اختبار Fisher الدقيق على حجم أصغر خلية متوقعة وليس على العادة. يُظهر الجدولان المذكوران أعلاه، واللذان تم التحقق منهما باستخدام برامج إحصائية مستقلة في كل خطوة، مدى تغير النتيجة عندما تصبح التكرارات المتوقعة صغيرة، ولماذا لا تُقدم قيمة p المنسوخة من مخرجات البرنامج دون التحقق من هذا الرقم أولًا صورة كاملة.

تُعدّ البيانات الفئوية من هذا النوع أساسية في دراسات الحالات والشواهد، وأبحاث دقة التشخيص، ودراسات الارتباط الجيني، ولذلك يُدقّق مُراجعو المخطوطات في هذا الاختبار تحديدًا بدقة متناهية. إنّ التأكد من صحة الافتراضات من البداية، والإبلاغ عن حجم التأثير إلى جانب قيمة الاحتمالية (p-value)، يُجنّب الباحث طلب التعديل قبل كتابة البحث.

مراجع حسابات

1. بيرسون ك. حول المعيار الذي ينص على أن نظامًا معينًا من الانحرافات عن المحتمل في حالة نظام مترابط من المتغيرات هو بحيث يمكن افتراض أنه قد نشأ بشكل معقول من أخذ عينات عشوائية. مجلة الفلسفة. 1900;50(302):157–175. doi.org/10.1080/14786440009463897
2. فيشر آر إيه. حول تفسير χ² من جداول التوافق، وحساب P. جمعية الإحصاء جونيور. 1922;85(1):87–94. doi.org/10.2307/2340521
3. ييتس ف. جداول التوافق التي تتضمن أعدادًا صغيرة واختبار χ². جمعية الإحصاء التكميلية للناشئين. 1934;1(2):217–235. doi.org/10.2307/2983604
4. كوكران دبليو جي. بعض الطرق لتعزيز اختبارات χ² الشائعة. القياسات الحيوية. 1954;10(4):417–451. doi.org/10.2307/3001616
5. هافيلاند إم جي. تصحيح ييتس للاستمرارية وتحليل جداول الطوارئ 2 × 2. ستات ميد. 1990;9(4):363–367. PMID 2362976
6. بريسكوت آر جيه. اختبارات الدلالة ثنائية الطرف لجداول التوافق 2 × 2. ما هو البديل؟ ستات ميد. 2021;38(22):4264–4269. PMID 31264237
7. Sahai H, Khurshid A. On analysis of epidemiological data includes a 2 x 2 contingency table, a overview of Fisher's exact test and Yates' correction for continuity. مجلة الإحصاءات الصيدلانية الحيوية. 1995;5(1):43–70. PMID 7613560
8. Hazra A, Gogtay N. Biostatistics series module 4, comparison groups, categorical variables. المجلة الهندية للأمراض الجلدية. 2016;61(4):385–392. PMID 27512183
9. وانغ جيه، شيتي إس. اختبار الانحراف عن نسب هاردي-واينبرغ. طرق مول بيول2012؛850:77-102. PMID 22307695
10. ريغبي إيه إس. الأساليب الإحصائية في علم الأوبئة. السابع. نظرة عامة على اختبار مربع كاي لتحليل جداول التوافق 2 × 2. ديسبيل رحابيل. 2002;23(16):693–697. PMID 11732558
11. جرينلاند إس، سين إس جيه، روثمان كيه جيه، وآخرون. الاختبارات الإحصائية، وقيم P، وفترات الثقة، والقوة، دليل للتفسيرات الخاطئة. المجلة الأوروبية لعلم الأوبئة. 2016;31(4):337–350. PMID 27209009
12. مجموعة ريكوفري التعاونية. ديكساميثازون في المرضى المنومين المصابين بكوفيد-19. N ENGL J ميد. 2021;384(8):693–704. doi.org/10.1056/NEJMoa2021436
13. Bewick V, Cheek L, Ball J. Statistics review 8: qualative data, tests of association. العناية المركزة. 2004;8(1):46–53. PMID 14975045
14. McHugh ML. اختبار مربع كاي للاستقلال. الطب الكيميائي الحيوي. 2013;23(2):143–149. PMID 23894860
15. غوميز الأول، كولينز أ، لونجو سي، وآخرون. مراقبة الجودة وفقًا لنظرية هاردي-واينبرغ. حوليات علم الوراثة البشرية. 1999;63(6):535–538. PMID 11246455