การทดสอบไคสแควร์แบบง่าย: คู่มือฉบับสมบูรณ์พร้อมตัวอย่างการใช้งาน

เผยแพร่เมื่อ 20 มิถุนายน 2026 | อัปเดตล่าสุด29 ตุลาคม 2026

การทดสอบ ไคสแควร์ตอบคำถามเฉพาะเจาะจงข้อหนึ่ง คือ จำนวนที่สังเกตได้ในกลุ่มต่างๆ แตกต่างจากสิ่งที่ความเป็นอิสระ หรือแบบจำลองที่ระบุไว้จะทำนายไว้หรือไม่คาร์ล เพียร์สัน ได้แนะนำการทดสอบนี้ในปี 1900และนักระบาดวิทยายังคงใช้การทดสอบนี้ทุกสัปดาห์เพื่อเปรียบเทียบอัตราการสัมผัสในกลุ่มต่างๆ ตรวจสอบข้อมูลทางพันธุกรรมเพื่อหาข้อผิดพลาด และตรวจสอบว่าการเกิดโรคมีการกระจุกตัวตามฤดูกาลหรือไม่ แทนที่จะกระจายอย่างสม่ำเสมอตลอดทั้งปี คู่มืออื่นๆ ในหัวข้อนี้มักจะกล่าวถึงสูตรและจบลงแค่นั้น แต่ในที่นี้ ตารางความสัมพันธ์สองตารางจะถูกคำนวณด้วยมือ ทุกตัวเลขจะถูกตรวจสอบกับซอฟต์แวร์ทางสถิติอิสระ และคู่มือจะอธิบายอย่างชัดเจนว่าเมื่อใดที่การประมาณค่าไคสแควร์จะไม่น่าเชื่อถืออีกต่อไป และควรใช้การทดสอบความแม่นยำของฟิชเชอร์แทน

ประเด็นที่สำคัญ

• A การทดสอบไคสแควร์ เปรียบเทียบจำนวนหมวดหมู่ที่สังเกตได้กับจำนวนที่คาดหวังภายใต้แบบจำลองว่าง โดยใช้สถิติ χ² = Σ(O − E)² / E
• การขอ การทดสอบไคสแควร์ของความเป็นอิสระ ตรวจสอบว่าตัวแปรเชิงหมวดหมู่สองตัวมีความสัมพันธ์กันหรือไม่ การทดสอบความพอดี ตรวจสอบว่าการกระจายตัวของตัวแปรหนึ่งตรงกับรูปแบบที่คาดการณ์ไว้หรือไม่
• องศาแห่งความเป็นอิสระ สำหรับตารางความสัมพันธ์จะมีค่าเท่ากับ (แถว − 1) × (คอลัมน์ − 1) และสำหรับการทดสอบความเหมาะสมของแบบจำลอง จะมีค่าเท่ากับจำนวนหมวดหมู่ลบ 1 ลบด้วยค่าพารามิเตอร์ที่ประมาณได้จากข้อมูล
• แนวทางของ Cochran ในปี 1954 ระบุว่า เซลล์ไม่เกิน 20% ควรมีจำนวนที่คาดหวังต่ำกว่า 5 และไม่มีเซลล์ใดควรมีจำนวนต่ำกว่า 1 หากข้ามเส้นนั้นไปแล้ว... การทดสอบที่แม่นยำของฟิชเชอร์ กลายเป็นทางเลือกที่ปลอดภัยกว่า
• ผลการทดสอบไคสแควร์ที่มีนัยสำคัญแสดงให้เห็นว่ามีความสัมพันธ์กันอยู่ แต่ความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์นั้นเป็นอีกเรื่องหนึ่ง ซึ่งต้องพิจารณาจากอัตราส่วนความน่าจะเป็น ความเสี่ยงสัมพัทธ์ หรือค่า Cramér's V ไม่ใช่ค่า p เพียงอย่างเดียว

การทดสอบไคสแควร์คืออะไร?

นักสถิติจัดกลุ่มวิธีการทดสอบไคสแควร์ไว้ในกลุ่มเดียวกัน โดยมีลักษณะร่วมกันอย่างหนึ่งคือ ค่าสถิติการทดสอบแต่ละค่าจะมีการแจกแจงแบบไคสแควร์เมื่อสมมติฐานว่างเป็นจริงและขนาดตัวอย่างเพียงพอ สองวิธีในกลุ่มนี้ครอบคลุมเกือบทุกกรณีที่นักวิจัยพบเจอในทางปฏิบัติ การทดสอบความเป็นอิสระด้วยไคสแควร์ใช้ตัวแปรเชิงหมวดหมู่สองตัวที่วัดจากกลุ่มตัวอย่างเดียวกัน เช่น กลุ่มการรักษาและผลลัพธ์ทางคลินิก และถามว่าค่าของตัวแปรหนึ่งสามารถทำนายค่าของอีกตัวแปรหนึ่งได้หรือไม่ ส่วนการทดสอบความเหมาะสมด้วยไคสแควร์ใช้ตัวแปรเชิงหมวดหมู่ตัวเดียวและถามว่าการแจกแจงที่สังเกตได้ตรงกับการแจกแจงที่กำหนดไว้ล่วงหน้าหรือไม่ เช่น การแบ่งเท่าๆ กันในสี่ฤดูกาลหรืออัตราส่วนทางพันธุกรรมแบบเมนเดล

การเลือกใช้ระหว่างสองวิธีนี้ และระหว่างการทดสอบไคสแควร์กับการทดสอบอื่น ๆ ที่แตกต่างออกไปนั้น ขึ้นอยู่กับวิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลและคำถามที่ต้องการถาม ผู้อ่านที่ยังลังเลอยู่ว่าการทดสอบไคสแควร์เหมาะสมกับข้อมูลของตนหรือไม่ สามารถลองใช้ตัวเลือกการทดสอบแบบโต้ตอบของ Editverseหรือแผนผังขั้นตอนการทดสอบทางสถิติก่อนดำเนินการต่อได้

ทั้งสองเวอร์ชันของการทดสอบไคสแควร์ใช้สถิติเดียวกัน

χ² = Σ (O − E)² / E

O แทนจำนวนที่สังเกตได้ในแต่ละหมวดหมู่หรือเซลล์ E แทนจำนวนที่คาดการณ์ไว้ภายใต้สมมติฐานว่าง และผลรวมจะครอบคลุมทุกเซลล์ในตาราง การยกกำลังสองของผลต่างจะลบเครื่องหมายออก ดังนั้นทั้งจำนวนที่มากเกินไปและจำนวนที่น้อยเกินไปจะทำให้ค่าสถิติสูงขึ้น และการหารด้วย E จะปรับขนาดผลต่างที่ยกกำลังสองแต่ละค่าให้สัมพันธ์กับจำนวนที่คาดการณ์ไว้จริงในเซลล์นั้น เซลล์ที่คาดว่าจะเก็บข้อมูลได้ 200 รายการ สามารถรองรับช่องว่าง 10 รายการได้โดยไม่เป็นปัญหามากนัก แต่เซลล์ที่คาดว่าจะเก็บข้อมูลได้ 5 รายการนั้นไม่สามารถทำได้ และการหารด้วย E จะสะท้อนให้เห็นถึงสิ่งนั้นโดยตรง

วิธีการคำนวณค่าสถิติไคสแควร์

ความถี่ที่คาดหวังมาจากสมมติฐานว่าง ไม่ใช่จากตัวเลขกลมๆ ที่เลือกมาเพื่อความสะดวก ในตารางความสัมพันธ์ จำนวนที่คาดหวังสำหรับเซลล์ใดๆ จะเท่ากับผลรวมของแถวนั้นคูณด้วยผลรวมของคอลัมน์นั้น แล้วหารด้วยผลรวมทั้งหมด สูตรนั้นได้มาจากสมมติฐานความเป็นอิสระโดยตรง หากตัวแปรสองตัวไม่มีความสัมพันธ์กันอย่างแท้จริง สัดส่วนของคอลัมน์ที่อยู่ในแถวใดแถวหนึ่งควรตรงกับสัดส่วนโดยรวมของแถวนั้นในตารางทั้งหมด

ตัวอย่างง่ายๆ จะช่วยให้เข้าใจได้ชัดเจนขึ้น สมมติว่าผู้ป่วย 100 คน แบ่งออกเป็น 50 คนที่ได้รับการรักษาและ 50 คนที่ไม่ได้รับการรักษา และในจำนวนนี้ 45 คนหายดีและ 55 คนไม่หายดี ตามหลักความเป็นอิสระ กลุ่มที่ได้รับการรักษาควรมีอัตราการหายดี 45% เท่ากับกลุ่มที่ไม่ได้รับการรักษา ดังนั้นจำนวนผู้ป่วยที่หายดีที่คาดหวังในกลุ่มที่ได้รับการรักษาจึงเท่ากับ 50 × 45 ÷ 100 หรือ 22.5 จำนวนที่คาดหวังไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม เฉพาะจำนวนที่สังเกตได้เท่านั้นที่เป็นจำนวนเต็ม

ค่าคาดการณ์ความเหมาะสมของแบบจำลองทำงานในลักษณะเดียวกัน แต่มาจากสัดส่วนที่ตั้งสมมติฐานไว้แทนที่จะเป็นตัวแปรที่สอง การทดสอบว่าการเกิดโรค 200 ครั้งกระจายอย่างสม่ำเสมอในสี่ฤดูกาลหรือไม่ จะกำหนดค่าคาดการณ์ของแต่ละฤดูกาลไว้ที่ 200 × 0.25 หรือ 50 จากนั้นการทดสอบจะวัดว่าจำนวนผู้ป่วยจริงในแต่ละฤดูกาลเบี่ยงเบนจากเส้นตรงนั้นมากน้อยเพียงใด

ระดับความเป็นอิสระในการทดสอบไคสแควร์

จำนวนองศาอิสระจะบอกรูปร่างของการแจกแจงไคสแควร์ ค่าจำนวนองศาอิสระที่ไม่ตรงกันนั้นอาจมองข้ามได้ง่ายขณะร่างส่วนผลลัพธ์ แต่จะเปลี่ยนค่าวิกฤตที่ใช้เปรียบเทียบกับสถิติ และสามารถเปลี่ยนข้อสรุปที่คลุมเครือจากมีนัยสำคัญเป็นไม่มีนัยสำคัญ หรือกลับกันได้ สำหรับตารางความสัมพันธ์ที่มี r แถวและ c คอลัมน์ จำนวนองศาอิสระจะเท่ากับ (r − 1)(c − 1) ดังนั้น ตาราง 2×2 มาตรฐานจึงมีจำนวนองศาอิสระเพียงหนึ่งเดียว เพราะเมื่อผลรวมของแถวและคอลัมน์คงที่แล้ว จะมีเพียงเซลล์เดียวเท่านั้นที่สามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างอิสระ ก่อนที่เซลล์ที่เหลือจะถูกลบออกไป

ระดับความเป็นอิสระของการทดสอบความเหมาะสมของแบบจำลองนั้นเป็นไปตามกฎที่เกี่ยวข้องแต่แตกต่างกัน โดยจะเท่ากับจำนวนหมวดหมู่ลบด้วย 1 และลบด้วยระดับความเป็นอิสระอีกหนึ่งระดับสำหรับทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณค่าจากตัวอย่างแทนที่จะกำหนดไว้ล่วงหน้า การทดสอบสี่ฤดูกาลเทียบกับค่าคาดหวังคงที่ 25% จะใช้ระดับความเป็นอิสระ 4 − 1 = 3 เนื่องจากไม่มีการประมาณค่าใดๆ จากข้อมูล การทดสอบจำนวนจีโนไทป์เทียบกับสัดส่วนของ Hardy-Weinberg นั้นซับซ้อนกว่า เพราะความถี่ของอัลลีลที่ใช้ในการสร้างสัดส่วนจีโนไทป์ที่คาดหวังนั้นเองก็ได้รับการประมาณค่าจากตัวอย่างเดียวกัน และขั้นตอนการประมาณค่านั้นต้องใช้ระดับความเป็นอิสระเพิ่มเติมอีกหนึ่งระดับนอกเหนือจากกฎง่ายๆ คือ จำนวนลบด้วยหนึ่ง

การทดสอบไคสแควร์เพื่อความเป็นอิสระ: ตัวอย่างการคำนวณอย่างละเอียด

ลองพิจารณาการเปรียบเทียบสองกลุ่มของผู้ป่วย 100 ราย โดย 50 รายได้รับการรักษา และ 50 รายไม่ได้รับการรักษา แล้วแสดงผลลัพธ์เป็นการรักษาหายหรือไม่หาย ข้อมูลชุดนี้ยังสามารถใช้งานได้ในเครื่องคำนวณการทดสอบไคสแควร์ของ Editverseในฐานะตัวอย่างที่สามารถโหลดได้ ดังนั้นทุกขั้นตอนด้านล่างจึงสามารถทำซ้ำได้ทันที

ค่าที่คาดการณ์ไว้เป็นไปตามกฎผลรวมแถวคูณผลรวมคอลัมน์จากส่วนก่อนหน้า ผู้ป่วยที่ได้รับการรักษาและหายดีคาดว่าจะมีค่าเท่ากับ 50 × 45 ÷ 100 = 22.5 ผู้ป่วยที่ได้รับการรักษาแต่ไม่หายดีคาดว่าจะมีค่าเท่ากับ 50 × 55 ÷ 100 = 27.5 ผู้ป่วยที่ไม่ได้รับการรักษาและหายดีคาดว่าจะมีค่าเท่ากับ 50 × 45 ÷ 100 = 22.5 ผู้ป่วยที่ไม่ได้รับการรักษาและไม่หายดีคาดว่าจะมีค่าเท่ากับ 50 × 55 ÷ 100 = 27.5 ค่าที่คาดการณ์ไว้ทุกค่าผ่านเกณฑ์ของ Cochran ที่ 5 ดังนั้นการประมาณค่าไคสแควร์แบบธรรมดาจึงสามารถนำมาใช้ได้โดยไม่มีเงื่อนไข

แต่ละเซลล์จะให้ค่า (O − E)² ÷ E แก่ผลรวม เซลล์ที่ได้รับการรักษาและหายดีจะให้ค่า (30 − 22.5)² ÷ 22.5 = 2.500 เซลล์ที่ได้รับการรักษาแต่ไม่หายดีจะให้ค่า (20 − 27.5)² ÷ 27.5 = 2.045 เซลล์ที่ไม่ได้รับการรักษาและหายดีจะให้ค่า (15 − 22.5)² ÷ 22.5 = 2.500 เซลล์ที่ไม่ได้รับการรักษาและไม่หายดีจะให้ค่า (35 − 27.5)² ÷ 27.5 = 2.045 เมื่อรวมค่าทั้งสี่นี้เข้าด้วยกัน จะได้ค่า χ² = 9.091 ที่ระดับความเป็นอิสระ 1 องศา ซึ่งสอดคล้องกับค่า p = 0.0026 ซึ่งต่ำกว่าเกณฑ์ 0.05 ที่กำหนดไว้มาก การใช้การแก้ไขความต่อเนื่องของ Yates ซึ่งจะกล่าวถึงโดยละเอียดในส่วนถัดไป จะทำให้ค่าสถิติลดลงเหลือ 7.919 (p = 0.0049) การทดสอบความแม่นยำของ Fisher ที่ดำเนินการอย่างอิสระบนตารางเดียวกันให้ผลลัพธ์ p = 0.0046 ทั้งสามวิธีเห็นพ้องกันว่าการรักษาและผลลัพธ์มีความสัมพันธ์กัน ซึ่งเป็นการตรวจสอบความถูกต้องแบบสามเหลี่ยมที่ผู้ตรวจทานต้นฉบับต้องการเห็นในส่วนผลลัพธ์

ความสำคัญเพียงอย่างเดียวไม่ได้อธิบายถึงความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์ โอกาสที่จะหายขาดอยู่ที่ 30 ต่อ 20 ในกลุ่มผู้ป่วยที่ได้รับการรักษา เทียบกับ 15 ต่อ 35 ในกลุ่มผู้ป่วยที่ไม่ได้รับการรักษา ทำให้ได้อัตราส่วนความน่าจะเป็น (30 × 35) ÷ (20 × 15) = 3.5 ค่า Cramér's V ซึ่งเป็นขนาดผลกระทบที่คำนวณจากค่าไคสแควร์ มีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 สำหรับตาราง 2×2 คำนวณได้เท่ากับรากที่สองของ (9.091 ÷ 100) หรือ 0.30 ซึ่งอยู่ระหว่างความสัมพันธ์ขนาดเล็กและขนาดปานกลางตามเกณฑ์มาตรฐานทั่วไป การรายงานค่า p-value ควบคู่ไปกับอัตราส่วนความน่าจะเป็นและค่า Cramér's V แทนที่จะรายงานค่า p-value เพียงอย่างเดียว จะทำให้ส่วนผลลัพธ์ที่พร้อมสำหรับการตีพิมพ์แตกต่างจากส่วนที่ทำให้ผู้ตรวจสอบตั้งคำถามการอธิบายขั้นตอนการศึกษาเกี่ยวกับการฉีดวัคซีนในที่ทำงานของ McHughมีลำดับขั้นตอนเดียวกัน คือ พนักงานที่ไม่ได้รับวัคซีน 23 คนจาก 92 คนเป็นโรคปอดบวมจากเชื้อนิวโมค็อกคัส ในขณะที่พนักงานที่ได้รับวัคซีน 5 คนจาก 92 คนเป็นโรคนี้ การทดสอบไคสแควร์ยืนยันว่าความแตกต่างนี้ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ และค่า Cramér's V แสดงให้เห็นว่าความแตกต่างนั้นมีความแข็งแกร่งเพียงใด

ตารางความน่าจะเป็นและความถี่ที่คาดหวัง: ตัวอย่างจริงของตาราง 2x2

ตารางความสัมพันธ์ (Contingency Table)คือตารางที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเชิงหมวดหมู่สองตัว และการทดสอบไคสแควร์ (Chi-square Test) จะเปรียบเทียบจำนวนที่สังเกตได้ในแต่ละเซลล์กับความถี่ที่คาดหวัง : ผลรวมแถว × ผลรวมคอลัมน์ ÷ ผลรวมทั้งหมด การทดลอง RECOVERY สุ่มผู้ป่วยโควิด-19 ที่เข้ารับการรักษาในโรงพยาบาลให้ได้รับยาเดกซาเมทาโซน 6 มิลลิกรัมต่อวัน หรือได้รับการดูแลตามปกติ และนับจำนวนผู้เสียชีวิตภายใน 28 วันรายงานฉบับสมบูรณ์สามารถอ่านได้ฟรีบนPubMed Centralและบทคัดย่อให้ข้อมูลจำนวนผู้ป่วยที่จำเป็นทั้งหมด: ผู้ป่วย 2,104 รายที่ได้รับเดกซาเมทาโซน ผู้ป่วย 4,321 รายที่ได้รับการดูแลตามปกติ และผู้เสียชีวิต 482 ราย และ 1,110 ราย ตามลำดับ

ขั้นตอนที่ 1: ความถี่ที่คาดหวัง

หากเดกซาเมทาโซนไม่มีผลใดๆ การเสียชีวิตจะแบ่งตามสัดส่วนขนาดของกลุ่ม อัตราการเสียชีวิตโดยรวมคือ 1,592 / 6,425 จำนวนผู้เสียชีวิตที่คาดการณ์จากการใช้เดกซาเมทาโซน = 1,592 × 2,104 / 6,425 = 521.33จำนวนผู้เสียชีวิตที่คาดการณ์จากการดูแลตามปกติ = 1,592 × 4,321 / 6,425 = 1,070.67จำนวนผู้เสียชีวิตที่สังเกตได้คือ 482 และ 1,110 ดังนั้นเดกซาเมทาโซนจึงต่ำกว่าที่คาดการณ์ไว้ 39.3 และการดูแลตามปกติสูงกว่าที่คาดการณ์ไว้ 39.3

ขั้นตอนที่ 2: สถิติการทดสอบ

χ² = Σ (O − E)² / E = 5.87 ที่ระดับความเป็นอิสระ 1 องศา, p = 0.015 เมื่อใช้การแก้ไขของ Yates จะได้ χ² = 5.72 (p = 0.017) ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานคือ −1.72 (เดกซาเมทาโซน เสียชีวิต) และ +1.20 (การดูแลตามปกติ เสียชีวิต) ไม่มีค่าใดผ่าน ±2 ดังนั้นจึงไม่มีเซลล์ใดที่โดดเด่น จำนวนที่คาดหวังทั้งหมดสูงกว่า 500 ดังนั้นการประมาณค่าสำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่จึงปลอดภัย R's chisq.test และไพธอน scipy.stats.chi2_contingency ส่งคืนค่าที่เหมือนกัน

การทดสอบความเหมาะสมของไคสแควร์: ตัวอย่างการใช้งานที่สอง

ทีมเฝ้าระวังมักถามคำถามที่แตกต่างออกไป ไม่ใช่ว่าตัวแปรสองตัวมีความสัมพันธ์กันหรือไม่ แต่เป็นว่าการกระจายตัวของตัวแปรหนึ่งตรงกับรูปแบบที่คาดการณ์ไว้หรือไม่ สมมติว่าหน่วยงานสาธารณสุขบันทึกผู้ป่วยโรคทางเดินอาหารที่ได้รับการยืนยัน 200 รายตลอดทั้งปีปฏิทิน และต้องการทราบว่าการเกิดโรคกระจุกตัวตามฤดูกาลหรือกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอ ภายใต้สมมติฐานว่างที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงตามฤดูกาล แต่ละฤดูกาลทั้งสี่คาดว่าจะมีผู้ป่วย 200 × 0.25 = 50 ราย

เมื่อรวมค่าต่างๆ จากทั้งสี่ฤดูกาลเข้าด้วยกัน ผลรวมของค่า χ² = 19.32 บนระดับความเป็นอิสระ 4 − 1 = 3 ทำให้ได้ค่า p = 0.00023 ผลลัพธ์นี้ปฏิเสธสมมติฐานหลักของการกระจายแบบราบเรียบอย่างเด็ดขาด ค่าส่วนร่วมของฤดูหนาวที่ 9.68 และค่าส่วนร่วมของฤดูร้อนที่ 5.78 คิดเป็นส่วนใหญ่ของค่าสถิติทั้งหมด ซึ่งชี้ให้เห็นโดยตรงว่าความเบี่ยงเบนเกิดขึ้นที่ใด ฤดูหนาวมีค่าสูงกว่าส่วนแบ่งที่คาดการณ์ไว้มาก และฤดูร้อนมีค่าต่ำกว่ามาก แทนที่จะเป็นการที่แต่ละฤดูกาลค่อยๆ เคลื่อนไปในทิศทางเดียวกัน ซึ่งเป็นความแตกต่างที่ค่า p โดยรวมเพียงอย่างเดียวไม่สามารถเปิดเผยได้ และจำเป็นต้องตรวจสอบค่าส่วนร่วมของแต่ละเซลล์เพื่อที่จะจับความแตกต่างนี้ได้

โครงสร้างที่แน่นอนนี้ปรากฏให้เห็นทั่วไปในระบาดวิทยา โดยส่วนใหญ่ใช้ในการตรวจสอบว่าจำนวนจีโนไทป์ตรงกับสมดุลของ Hardy-Weinberg หรือไม่ ซึ่งเป็นขั้นตอนการควบคุมคุณภาพของการหาจีโนไทป์ หรือว่าการวินิจฉัยตรงกับสัดส่วนที่คาดหวังจากประชากรกลุ่มอ้างอิงหรือไม่ กลไกไม่เคยเปลี่ยนแปลง ระบุสัดส่วนที่เป็นศูนย์ คูณด้วยขนาดตัวอย่างทั้งหมดเพื่อให้ได้จำนวนที่คาดหวัง รวมช่องว่างมาตรฐานยกกำลังสอง และเปรียบเทียบผลรวมกับค่าการแจกแจงไคกำลังสองที่มีระดับความเป็นอิสระที่ตรงกัน

เมื่อการทดสอบไคสแควร์ล้มเหลว: จำนวนเซลล์ที่คาดหวังมีขนาดเล็ก

ค่าสถิติไคสแควร์เป็นเพียงค่าประมาณเท่านั้น การแจกแจงอ้างอิงของมันตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าจำนวนนับในแต่ละเซลล์มีพฤติกรรมคล้ายกับปริมาณต่อเนื่องที่มีการแจกแจงแบบปกติโดยประมาณ เพื่อให้ผลรวมของกำลังสองของค่าเบี่ยงเบนสามารถสร้างเส้นโค้งไคสแควร์ที่ราบเรียบได้ สมมติฐานนี้ขึ้นอยู่กับว่าแต่ละเซลล์มีจำนวนนับที่คาดหวังไว้ค่อนข้างมาก ในทำนองเดียวกับการประมาณค่าปกติของสัดส่วนทวินามที่ต้องการการทดลองมากพอ ก่อนที่จะหยุดแสดงพฤติกรรมที่ผิดปกติที่ปลายทั้งสองข้าง เมื่อจำนวนนับที่คาดหวังลดลงเหลือ 2 หรือ 3 ค่าจำนวนนับที่สังเกตได้จริงจะอยู่ห่างกันมากเมื่อเทียบกับการกระจายตัว การแจกแจงตัวอย่างที่แท้จริงของสถิติจะกลายเป็นแบบขรุขระแทนที่จะราบเรียบ และเส้นโค้งไคสแควร์จะไม่เหมาะสมกับมัน

บทความของ William Cochran ใน ปี 1954 ที่ตีพิมพ์ในวารสาร Biometrics ได้เปลี่ยนข้อกังวลเชิงทฤษฎีนั้นให้กลายเป็นกฎเกณฑ์ที่ยังคงใช้สอนกันอยู่ในปัจจุบัน โดยระบุว่า ไม่ควรมีเซลล์เกิน 20% ที่มีค่าคาดหวังต่ำกว่า 5 และไม่มีเซลล์ใดเลยที่มีค่าต่ำกว่า 1 หากค่าใดค่าหนึ่งต่ำกว่า 1 ค่า p-value ที่รายงานจะไม่สามารถเชื่อถือได้อีกต่อไป การศึกษาจำลองในยุคนั้นได้สร้างกฎเกณฑ์นี้ขึ้นมาแทนที่จะเป็นการพิสูจน์ในรูปแบบปิด และงานวิจัยในภายหลังก็ยังคงยืนยันข้อกังวลพื้นฐานนี้ต่อไป แม้ว่าค่าเกณฑ์ที่แน่นอนจะยังคงเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ รวมถึงเอกสารเกี่ยวกับวิธีการทดสอบ Hardy-Weinberg ที่อธิบายว่าการทดสอบความเหมาะสมของไคสแควร์แบบธรรมดานั้นมีความไวต่อขนาดตัวอย่างเล็กหรือความถี่ของอัลลีลที่หายากมาก

ตารางคำนวณขนาดเล็กแสดงให้เห็นถึงผลลัพธ์ที่สำคัญได้อย่างชัดเจน ลองพิจารณาตาราง 2x2 ที่มีจำนวน 4, 1, 1 และ 4 โดยที่ค่าที่คาดหวังแต่ละค่าเท่ากับ 2.5 ซึ่งต่ำกว่าค่าต่ำสุดของ Cochran อย่างเห็นได้ชัด ค่าสถิติไคสแควร์ที่ไม่ได้รับการแก้ไขมีค่าเท่ากับ 3.6 ที่ระดับความเป็นอิสระ 1 องศา สำหรับ p = 0.058 ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่น่าสนใจมากพอที่จะเรียกว่า "มีแนวโน้มไปสู่ความมีนัยสำคัญ" การแก้ไขความต่อเนื่องของ Yates ทำให้ตารางเดียวกันนั้นมีค่า χ² = 1.6 (p = 0.206) และการทดสอบความแม่นยำของ Fisher ที่ดำเนินการอย่างอิสระก็ได้ค่า p = 0.206 เช่นกัน ซึ่งสอดคล้องกับค่าไคสแควร์ที่ได้รับการแก้ไขเกือบจะตรงกัน และขัดแย้งกับค่าที่ไม่ได้รับการแก้ไขอย่างสิ้นเชิง การรายงานค่า p ที่ไม่ได้รับการแก้ไขในที่นี้จะทำให้หลักฐานสำหรับการเชื่อมโยงที่การทดสอบความแม่นยำไม่สนับสนุนนั้นเกินจริงไป

คำอธิบายเกี่ยวกับการแก้ไขความต่อเนื่องของเยตส์

แฟรงค์ เยตส์ เสนอวิธีแก้ไขสำหรับตาราง 2×2 ขนาดเล็กในบทความปี 1934 ในวารสาร Journal of the Royal Statistical Societyเนื่องจากการแจกแจงไคสแควร์เป็นแบบต่อเนื่อง ในขณะที่จำนวนเซลล์เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ต่อเนื่อง เยตส์จึงแนะนำให้ลบ 0.5 ออกจากค่าสัมบูรณ์ของผลต่าง (O − E) แต่ละตัวก่อนที่จะยกกำลังสอง ซึ่งจะทำให้ค่าสถิติลดลงและผลักดันค่า p ให้สูงขึ้นเมื่อเทียบกับเวอร์ชันที่ไม่ได้รับการแก้ไข ในตาราง 4-1-1-4 ขนาดเล็กข้างต้น การปรับค่าดังกล่าวทำให้ค่าสถิติลดลงจาก 3.6 เหลือ 1.6 ซึ่งเป็นการแก้ไขที่ออกแบบมาเพื่อป้องกันไม่ให้การทดสอบที่ไม่ได้รับการแก้ไขอ้างว่ามีความสำคัญเกินจริงในตารางที่มีข้อมูลกระจัดกระจาย

ประเด็นที่ว่าควรใช้การแก้ไขนั้นโดยค่าเริ่มต้นหรือไม่นั้น เป็นหัวข้อถกเถียงกันมานานหลายทศวรรษโดยไม่มีข้อสรุปที่ชัดเจน และคู่มือนี้จะไม่แสร้งทำเป็นว่าเรื่องนี้ได้ข้อสรุปแล้วบทความของ Haviland ในปี 1990 ในวารสาร Statistics in Medicineโต้แย้งว่าสถิติที่แก้ไขโดย Yates นั้นอนุรักษ์นิยมเกินไป และค่าไคสแควร์ของ Pearson แบบธรรมดาก็ควบคุมความผิดพลาดประเภทที่ 1 ได้อย่างเพียงพอสำหรับตาราง 2×2 ส่วนใหญ่ที่นักวิจัยพบเจอ อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์ล่าสุดได้ข้อสรุปตรงกันข้าม บทความของ Prescott ในปี 2021 ในวารสาร Statistics in Medicineแนะนำให้ทดสอบตาราง 2×2 โดยใช้ค่าความน่าจะเป็นที่แน่นอนแบบด้านเดียวสองเท่าจากการทดสอบของ Fisher หรือใช้ค่าไคสแควร์ที่แก้ไขโดย Yates เป็นค่าประมาณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการประยุกต์ใช้ในการวิจัยทางการแพทย์ เนื่องจากความเห็นที่แตกต่างกันระหว่างนักสถิติผู้เชี่ยวชาญ การปฏิบัติที่ปลอดภัยที่สุดคือการรายงานว่าใช้เวอร์ชันใด และเลือกใช้การทดสอบที่แน่นอนของ Fisher มากกว่าค่าไคสแควร์แบบใดแบบหนึ่งเมื่อใดก็ตามที่ตารางมีขนาดเล็กพอที่การเลือกจะมีความสำคัญ

งานวิจัยที่ตีพิมพ์เผยแพร่แสดงให้เห็นว่าค่าต่างๆ อาจคลาดเคลื่อนไปได้มากเพียงใด ในการทดลองให้ไนเตรตทางหลอดเลือดดำที่Bewick, Cheek และ Ball ใช้ในการสอนการทดสอบตารางความสัมพันธ์พบว่าผู้ป่วยที่ได้รับการรักษา 3 ใน 50 ราย และกลุ่มควบคุม 8 ใน 45 รายเสียชีวิต ค่าไคสแควร์ที่ไม่ได้รับการแก้ไขให้ค่า χ² = 3.21 ที่ระดับความเป็นอิสระ 1 องศา (p = 0.073) ค่าสถิติที่ได้รับการแก้ไขโดย Yates ลดลงเหลือ 2.16 (p = 0.141) และการทดสอบความแม่นยำของ Fisher ซึ่งถือเป็นสองเท่าของความน่าจะเป็นแบบด้านเดียว ให้ค่า p = 0.140 ค่าที่ไม่ได้รับการแก้ไขนั้นอยู่ใกล้กับระดับนัยสำคัญมากกว่าอีกสองค่าอย่างเห็นได้ชัด ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมส่วนวิธีการจึงควรระบุชื่อค่าที่ใช้

แก้ไข

แนะนำสำหรับบทความนี้

ต้องการให้ดำเนินการวิเคราะห์หรือตรวจสอบผลการวิเคราะห์หรือไม่?นักสถิติชีวภาพระดับปริญญาเอกจะตรวจสอบการออกแบบการศึกษาของคุณ ดำเนินการวิเคราะห์ และเขียนส่วนวิธีการทางสถิติสำหรับต้นฉบับของคุณ

editverse.com

การวิเคราะห์ทางสถิติและการตรวจสอบต้นฉบับ

$475

ดูบริการ

นักสถิติชีวภาพระดับปริญญาเอกส่วนวิธีเขียนขึ้นเพื่อคุณรวมการแก้ไขภายใน 60 วัน

การทดสอบ Fisher's Exact Test: ทางเลือกสำหรับตัวอย่างขนาดเล็ก

โรนัลด์ ฟิชเชอร์ อธิบายวิธีการที่แม่นยำนี้ไว้ในบทความปี 1922 ในวารสาร Journal of the Royal Statistical Societyโดยอาศัยตรรกะตารางความน่าจะเป็นแบบเดียวกันกับที่เพียร์สันได้นำเสนอไว้เมื่อสองทศวรรษก่อนหน้านั้น แทนที่จะประมาณการแจกแจงตัวอย่างด้วยเส้นโค้งเรียบ การทดสอบที่แม่นยำของฟิชเชอร์จะกำหนดค่าผลรวมของแถวและคอลัมน์ และคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนของตารางที่เป็นไปได้ทุกตารางที่มีค่าสุดขั้วอย่างน้อยเท่ากับตารางที่สังเกตได้ โดยใช้การแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก การไม่มีขั้นตอนการประมาณค่าหมายความว่าไม่มีความเสี่ยงต่อความไม่ตรงกันของเส้นโค้งเรียบที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมการทดสอบที่แม่นยำจึงใช้ได้ผลในขณะที่การทดสอบไคสแควร์แบบธรรมดาใช้ไม่ได้ผล

บทความวิจารณ์ ของ Sahai และ Khurshid ในปี 1995 ในวารสาร Journal of Biopharmaceutical Statisticsได้อธิบายถึงข้อดีข้อเสียอย่างละเอียด และระบุว่าการทดสอบแบบแม่นยำ (exact test) นั้นอาจให้ผลลัพธ์ที่อนุรักษ์นิยมเกินไปสำหรับโครงสร้างตารางบางอย่าง ดังนั้นการเปลี่ยนไปใช้การทดสอบของ Fisher จึงไม่ได้ทำให้การทดสอบมีประสิทธิภาพมากขึ้นโดยอัตโนมัติ เพียงแต่เป็นการทดสอบที่สมเหตุสมผลกว่าเมื่อขนาดตัวอย่างมีขนาดเล็ก กฎการตัดสินใจที่ใช้งานได้จริงนั้นมาจากเกณฑ์ของ Cochran ข้างต้นโดยตรง คือ ให้ทำการทดสอบไคสแควร์แบบธรรมดาเมื่อค่าที่คาดหวังทุกค่า หรือเกือบทุกค่า ถึง 5 หรือมากกว่า และเปลี่ยนไปใช้การทดสอบแบบแม่นยำของ Fisherเมื่อเงื่อนไขนั้นไม่เป็นไปตามที่กำหนด ไม่ว่าขนาดตัวอย่างโดยรวมจะใหญ่แค่ไหนก็ตาม เนื่องจากค่ารวมที่มากอาจยังคงซ่อนเซลล์ที่มีข้อมูลกระจัดกระจายอยู่ภายในตารางที่ไม่สมดุลได้

การประยุกต์ใช้การทดสอบไคสแควร์ในโลกแห่งความเป็นจริงทางระบาดวิทยา

งานวิจัยทางระบาดวิทยาที่ตีพิมพ์เผยแพร่มักใช้กระบวนการไคสแควร์อย่างต่อเนื่อง โดยเกือบทุกครั้งใช้เป็นขั้นตอนการคัดกรองเบื้องต้นก่อนที่จะใช้แบบจำลองที่ซับซ้อนกว่า บทความสอนสถิติชีวภาพของ Hazra และ Gogtay ในวารสาร Indian Journal of Dermatologyระบุว่าไคสแควร์ของ Pearson, ไคสแควร์ของ McNemar สำหรับข้อมูลไบนารีแบบจับคู่ และไคสแควร์ของ Mantel-Haenszel สำหรับตารางแบบแบ่งชั้น เป็นสามรูปแบบที่นักวิจัยทางคลินิกพบเจอบ่อยที่สุด โดยแต่ละแบบเหมาะสมกับโครงสร้างข้อมูลที่แตกต่างกัน ไม่ใช่ตัวเลือกที่สามารถใช้แทนกันได้

ระบาดวิทยาทางพันธุกรรมอาศัยการทดสอบความเหมาะสม (goodness-of-fit) เป็นขั้นตอนการควบคุมคุณภาพตามปกติ การศึกษาจีโนไทป์จะทดสอบว่าจำนวนจีโนไทป์ที่สังเกตได้ ณ ตำแหน่งยีนที่กำหนดตรงกับสัดส่วนของ Hardy-Weinberg หรือไม่ และการเบี่ยงเบนอย่างมีนัยสำคัญมักบ่งชี้ถึงข้อผิดพลาดในการระบุจีโนไทป์ การแบ่งชั้นประชากร หรือแรงกดดันจากการคัดเลือกที่แท้จริง มากกว่าที่จะเป็นผลการค้นพบที่ควรรายงานโดยตรง ซึ่งเป็นความแตกต่างที่บทต่างๆ ในวิธีการทางพันธุศาสตร์เกี่ยวกับการทดสอบ Hardy-Weinberg อธิบายไว้อย่างละเอียดสำหรับนักวิจัยที่สร้างการศึกษาความสัมพันธ์ทางพันธุกรรม ในการสแกนจีโนม ครั้งหนึ่ง การทดสอบ Hardy-Weinberg ที่มีหนึ่งองศาอิสระที่ดำเนินการกับตำแหน่งเครื่องหมาย 44 ตำแหน่ง พบว่า 7 ตำแหน่งมีจำนวนโฮโมไซโกตที่เห็นได้ชัดมากเกินไปอย่างมีนัยสำคัญ (χ² > 6) ซึ่งรูปแบบดังกล่าวบ่งชี้ถึงข้อผิดพลาดในการระบุจีโนไทป์ บทความสอนการใช้งานตาราง 2x2 ที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย ซึ่งตีพิมพ์ในวารสาร Disability and Rehabilitation ได้อธิบายตารางปัจจัยเสี่ยงมะเร็งเต้านมตั้งแต่ต้นจนจบ และให้เหตุผลว่าบรรณาธิการวารสารควรขอให้ระบุทั้งจำนวนเซลล์ที่สังเกตได้และจำนวนเซลล์ที่คาดการณ์ไว้ในทุกตารางที่ตีพิมพ์ ไม่ใช่เพียงแค่ค่าสถิติการทดสอบเท่านั้น เพื่อให้ผู้อ่านสามารถตัดสินได้ด้วยตนเองว่าตรงตามเกณฑ์ของ Cochran หรือไม่

นอกเหนือจากด้านพันธุศาสตร์แล้ว การทดสอบความเป็นอิสระยังปรากฏให้เห็นในการเปรียบเทียบกรณีศึกษาและกลุ่มควบคุมโดยพิจารณาจากสถานะของโรค การสำรวจแบบตัดขวางที่เปรียบเทียบผลลัพธ์เชิงหมวดหมู่ในกลุ่มประชากรต่างๆ และการศึกษาด้านการวินิจฉัยที่เปรียบเทียบผลการทดสอบในกลุ่มย่อยของผู้ป่วย ข้อมูลการเฝ้าระวังจะได้รับการตรวจสอบด้วยวิธีการทดสอบความเหมาะสมของแบบจำลองเมื่อใดก็ตามที่จำเป็นต้องเปรียบเทียบกับรูปแบบที่คาดหวัง ไม่ว่าจะเป็นตามฤดูกาลหรืออื่นๆ ดังที่แสดงไว้ข้างต้น

ข้อผิดพลาดทั่วไปในการรายงานผลการทดสอบไคสแควร์

มีข้อผิดพลาดจำนวนหนึ่งที่เกิดขึ้นซ้ำๆ ทั้งในต้นฉบับที่ส่งมาและบทความที่ตีพิมพ์แล้ว

• ป้อนค่าเปอร์เซ็นต์แทนการป้อนจำนวนจริง สูตรไคสแควร์ทำงานกับความถี่ ไม่ใช่สัดส่วน ดังนั้นการแปลงเปอร์เซ็นต์กลับเป็นจำนวนจริงก่อนทำการทดสอบจึงเป็นสิ่งจำเป็น ไม่ใช่ทางเลือก
• ไม่สนใจเกณฑ์จำนวนที่คาดหวัง การเผยแพร่ค่า p-value ของไคสแควร์จากตารางที่มีหลายเซลล์ที่มีค่าต่ำกว่า 5 โดยไม่ยอมรับข้อจำกัดดังกล่าวหรือเปลี่ยนไปใช้การทดสอบความแม่นยำของฟิชเชอร์ ถือเป็นข้อผิดพลาดทางสถิติที่สามารถหลีกเลี่ยงได้มากที่สุดในด้านนี้
• การนำการทดสอบความเป็นอิสระไปใช้กับข้อมูลแบบจับคู่ การวัดก่อนและหลัง หรือการจับคู่ในกลุ่มตัวอย่างเดียวกัน ถือเป็นการละเมิดข้อสมมติฐานเรื่องความเป็นอิสระโดยสิ้นเชิง การทดสอบของแม็คเนมาร์ มีอยู่เพื่อสถานการณ์นั้นโดยเฉพาะ
• รายงานความสำคัญทางสถิติโดยไม่ระบุขนาดผลกระทบ ค่า p-value ยืนยันว่ามีความสัมพันธ์กันอยู่ แต่ว่าความสัมพันธ์นั้นมีขนาดใหญ่พอที่จะมีความสำคัญทางคลินิกหรือไม่นั้นเป็นอีกคำถามหนึ่ง ดังนั้นจึงต้องใช้ค่า Cramér's V, phi หรือค่าอื่นๆ มาพิจารณา อัตราส่วนราคาต่อรอง ควรวางไว้ข้างๆ ผลลัพธ์ไคสแควร์ทุกครั้ง
• การคำนวณองศาอิสระผิดพลาด ค่าที่ไม่ตรงกันนั้น นักสถิติสามารถตรวจจับได้ง่าย และบ่งชี้ว่าการวิเคราะห์ไม่ได้ถูกตรวจสอบอย่างรอบคอบก่อนส่ง

วิธีการรายงานผลการทดสอบไคสแควร์ในเอกสารของคุณ

วารสารส่วนใหญ่ในสาขาวิทยาศาสตร์สุขภาพใช้รูปแบบการรายงานที่คล้ายคลึงกัน โดยระบุชื่อการทดสอบ จำนวนองศาอิสระ (ในวงเล็บ) ขนาดตัวอย่าง ค่าสถิติ และค่า p ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น “χ²(1, N = 100) = 9.09, p = .003” ตามด้วยขนาดผลกระทบ และสำหรับตาราง 2×2 ให้ระบุอัตราส่วนความเสี่ยงหรือความเสี่ยงสัมพัทธ์พร้อมช่วงความเชื่อมั่นทันที คู่มือที่ใช้กันอย่างแพร่หลายเกี่ยวกับการตีความสถิติผิดพลาดซึ่งตีพิมพ์ในวารสาร European Journal of Epidemiology ชี้ให้เห็นว่า ค่า p เพียงอย่างเดียวโดยไม่มีช่วงความเชื่อมั่นประกอบ อาจทำให้ผู้อ่านตีความคำว่า “มีนัยสำคัญ” ว่า “ใหญ่” หรือ “สำคัญ” เกินไป

ตารางผลลัพธ์ควรแสดงจำนวนที่สังเกตได้ในแต่ละเซลล์ ไม่ใช่เพียงแค่เปอร์เซ็นต์ เพื่อให้ผู้อ่านที่ละเอียดรอบคอบสามารถคำนวณการทดสอบซ้ำได้อย่างอิสระ ส่วนวิธีการควรระบุว่ามีการใช้การแก้ไขใด (ถ้ามี) ไม่ว่าจะเป็นการแก้ไขของ Pearson ที่ไม่ได้รับการแก้ไข การแก้ไขของ Yates หรือการแก้ไขแบบ Fisher's exact และระบุซอฟต์แวร์และเวอร์ชันที่ใช้ นักวิจัยที่ยังคงพิจารณาเปรียบเทียบการทดสอบไคสแควร์กับตัวเลือกอื่นๆ สำหรับแผนการวิเคราะห์ที่กว้างขึ้น อาจพบว่าคู่มือของ Editverse เกี่ยวกับการเลือกการทดสอบทางสถิติที่เหมาะสมนั้นมีประโยชน์สำหรับส่วนต่างๆ ของต้นฉบับที่อยู่นอกเหนือข้อมูลเชิงหมวดหมู่

สรุป

การทำการทดสอบไคสแควร์อย่างถูกต้องนั้นไม่ใช่แค่การแทนค่าจำนวนลงในสูตรเท่านั้น ความถี่ที่คาดหวังต้องมาจากสมมติฐานว่างที่ระบุไว้อย่างชัดเจน ระดับความเป็นอิสระต้องตรงกับรูปร่างจริงของตาราง และการเลือกใช้ไคสแควร์แบบธรรมดา เวอร์ชันที่แก้ไขโดยเยตส์ หรือการทดสอบแบบแม่นยำของฟิชเชอร์ ต้องพิจารณาจากขนาดของเซลล์ที่คาดหวังที่เล็กที่สุด ไม่ใช่จากความเคยชิน ตารางที่แสดงผลลัพธ์ทั้งสองตารางข้างต้น ซึ่งได้รับการตรวจสอบซ้ำด้วยซอฟต์แวร์ทางสถิติอิสระในทุกขั้นตอน แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์สามารถเปลี่ยนแปลงได้มากเพียงใดเมื่อจำนวนที่คาดหวังมีขนาดเล็ก และเหตุใดค่า p ที่คัดลอกมาจากผลลัพธ์ของซอฟต์แวร์โดยไม่ได้ตรวจสอบตัวเลขนั้นก่อนจึงให้ข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์

ข้อมูลเชิงหมวดหมู่ประเภทนี้เป็นหัวใจสำคัญของการศึกษาแบบกรณีควบคุม งานวิจัยเกี่ยวกับความแม่นยำในการวินิจฉัย และงานวิจัยเกี่ยวกับความสัมพันธ์ทางพันธุกรรม ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมผู้ตรวจทานต้นฉบับจึงตรวจสอบการทดสอบนี้อย่างละเอียดถี่ถ้วน การตั้งสมมติฐานให้ถูกต้องตั้งแต่ครั้งแรก และการรายงานขนาดผลกระทบควบคู่ไปกับค่า p จะช่วยป้องกันคำขอแก้ไขก่อนที่จะเขียนเสร็จ

อ้างอิง

1. เพียร์สัน เค. พิจารณาตามเกณฑ์ที่ว่า ระบบการเบี่ยงเบนจากค่าที่น่าจะเป็นไปได้ในกรณีของระบบตัวแปรที่มีความสัมพันธ์กันนั้น เป็นไปตามที่สามารถสันนิษฐานได้อย่างสมเหตุสมผลว่าเกิดจากการสุ่มตัวอย่าง นิตยสารปรัชญา. 1900;50(302):157–175. doi.org/10.1080/14786440009463897
2. Fisher RA. เกี่ยวกับการตีความ χ² จากตารางความสัมพันธ์ และการคำนวณ P สมาคมสถิติ JR. 1922;85(1):87–94. doi.org/10.2307/2340521
3. Yates F. ตารางความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนน้อยและการทดสอบ χ² สมาคมสถิติจูเนียร์เสริม. 1934;1(2):217–235. doi.org/10.2307/2983604
4. Cochran WG. วิธีการบางอย่างเพื่อเสริมความแข็งแกร่งให้กับการทดสอบ χ² ทั่วไป Biometrics. 1954;10(4):417–451. doi.org/10.2307/3001616
5. Haviland MG. การแก้ไขความต่อเนื่องของ Yates และการวิเคราะห์ตารางความสัมพันธ์ 2 x 2 สแตทเมด. 1990;9(4):363–367. PMID 2362976
6. Prescott RJ. การทดสอบนัยสำคัญแบบสองด้านสำหรับตารางความสัมพันธ์ 2 x 2 ทางเลือกอื่นคืออะไร? สแตทเมด. 2021;38(22):4264–4269. PMID 31264237
7. Sahai H, Khurshid A. การวิเคราะห์ข้อมูลระบาดวิทยาโดยใช้ตารางความสัมพันธ์ 2 x 2 ภาพรวมของการทดสอบความแม่นยำของ Fisher และการแก้ไขความต่อเนื่องของ Yates เจ ไบโอฟาร์ม สแตท. 1995;5(1):43–70. PMID 7613560
8. Hazra A, Gogtay N. ชุดสถิติชีวภาพ โมดูล 4 การเปรียบเทียบกลุ่ม ตัวแปรเชิงหมวดหมู่ อินเดีย เจ เดอร์มาทอล. 2016;61(4):385–392. PMID 27512183
9. Wang J, Shete S. การทดสอบการเบี่ยงเบนจากสัดส่วน Hardy-Weinberg วิธีการ Mol Biol. 2012;850:77–102. PMID 22307695
10. Rigby AS. วิธีการทางสถิติในระบาดวิทยา. VII. ภาพรวมของการทดสอบไคกำลังสองสำหรับการวิเคราะห์ตารางความสัมพันธ์ 2 x 2 การฟื้นฟูสมรรถภาพผู้พิการ. 2002;23(16):693–697. PMID 11732558
11. Greenland S, Senn SJ, Rothman KJ และคณะ การทดสอบทางสถิติ ค่า P ช่วงความเชื่อมั่น และกำลังการทดสอบ คู่มือสำหรับการตีความผิดพลาด วารสารระบาดวิทยายุโรป. 2016;31(4):337–350. PMID 27209009
12. กลุ่มความร่วมมือเพื่อการฟื้นฟู (RECOVERY Collaborative Group) การใช้เดกซาเมทาโซนในผู้ป่วยโควิด-19 ที่เข้ารับการรักษาในโรงพยาบาล N Engl J Med. 2021;384(8):693–704. doi.org/10.1056/NEJMoa2021436
13. Bewick V, Cheek L, Ball J. การทบทวนสถิติ 8: ข้อมูลเชิงคุณภาพ การทดสอบความสัมพันธ์ การดูแลที่สำคัญ. 2004;8(1):46–53. PMID 14975045
14. แม็กฮิวจ์ เอ็มแอล. การทดสอบไคสแควร์เพื่อความเป็นอิสระ ไบโอเคมี เมด. 2013;23(2):143–149. PMID 23894860
15. Gomes I, Collins A, Lonjou C และคณะ การควบคุมคุณภาพตามหลัก Hardy-Weinberg แอนน์ ฮัม เจเน็ต. 1999;63(6):535–538. PMID 11246455